Giới thiệu đồ họa ba chiều
Vẽ các đường cong Bezier Thuật toán Casteljau Thuật toán này dựa trên tập các điểm cho trước để tìm ra các giá trị p(t) khi t thay đổi. Lúc này do đường cong được xây dựng phụ thuộc vào tập các điểm cho trước nên khi thay đổi các điểm này đường ...
Vẽ các đường cong Bezier
Thuật toán Casteljau
Thuật toán này dựa trên tập các điểm cho trước để tìm ra các giá trị p(t) khi t thay đổi. Lúc này do đường cong được xây dựng phụ thuộc vào tập các điểm cho trước nên khi thay đổi các điểm này đường cong sẽ thay đổi theo.
Chúng ta bắt đầu quá trình với việc xây dựng đường cong từ ba điểm cho trước p0, p1, p2 như hình vẽ 5.23.
Hình 5.23 - Thuật toán Casteljau cho ba điểm
Chọn một giá trị t nào đó trong đoạn 
, chia đoạn 
theo tỉ số t được 
, chia 
theo tỉ số t được 
. Ta có :
(5.14a)
(5.14b)
Lặp lại bước nội suy tuyến tính trên với các điểm 
và 
ta được 
. Bằng cách này khi cho t chạy trong đoạn [0,1], ta sẽ được đường cong 
.
Ta có : 
Đây là hàm bậc hai theo t nên đường cong sẽ có dạng parabol.
Tổng quát, cho (L+1) điểm p0, p1, .., pL, bằng phương pháp nội suy tương tự, ứng với mỗi t thay đổi trong [0, 1] ta sẽ tìm ra được một giá trị p(t) qua L bước. Trong đó các điểm ở bước thứ r được tạo ra từ các điểm ở bước thứ (r-1) theo phương trình sau :
(5.15)
với r = 1, .., L; i = 0, .., L-r; và pi0 = pi.
Các điểm tạo ra ở bước cuối cùng p0L(t) được gọi là đường cong Bezier của các điểm p0, p1, ..., pL. Các điểm p0, p1, ..., pL được gọi là các điểm kiểm soát (control points) hay điểm Bezier (Bezier points) và đa giác tạo bởi các điểm này được gọi là đa giác kiểm soát (control polygon) hay đa giác Bezier (Bezier polygon).
Dạng Bernstein của đường cong Bezier
Công thức đường cong Bezier dựa trên (L+1) điểm p0, p1, ..., pL có thể được viết lại như sau :
(5.16)
trong đó BkL được gọi là đa thức Bernstein (Bernstein polynomial) được cho bởi công thức sau :
(5.17)
khi L>=k và bằng 0 cho các trường hợp còn lại.
Dễ dàng nhận thấy đa thức Bernstein BkL (t) chính là các thành phần khi khai triển biểu thức ((1-t)+t)L, do đó tổng của các BkL(t) luôn có giá trị 1với mọi giá trị của t.
(5.18)
Hình vẽ sau minh họa bốn đa thức Bernstein bậc ba khi t biến đổi trong [0, 1]
Hình 5.24 – Các đa thức Bernstein bậc ba
Các hàm BkL (t) thường được gọi là các hàm trộn (blending functions) vì vector p(t) có thể được xem được "pha trộn" từ các vector p0, p1, ..., pL. Với mỗi giá trị t, mỗi đa thức Bernstein xác định một tỉ lệ hay trọng lượng cho các vector tương ứng. Theo dõi hình vẽ 5.25, ta thấy khi t = 0.3, bốn đa thức tương ứng với p0, p1, p2, p3, p4 cho các giá trị 0.343, 0.441, 0.189, 0.027. Tổng của bốn vector được gia trọng bởi các trọng lượng này chính là vector p(0.3).
Hàm trộn này là một đa thức có bậc nhỏ hơn số lượng các điểm kiểm soát . Ba điểm sẽ cho một parabol, bốn điểm sẽ cho một đường cong bậc ba.
Thông thường, số lượng các điểm kiểm soát có thể định là tùy ý cho việc xây dựng đường cong Bezier , tuy nhiên điều này đòi hỏi những tính toán phức tạp khi làm việc với các hàm đa thức bậc cao. Chúng ta khắc phục điều này bằng nhận xét : Một đường cong phức tạp bao giờ cũng có thể ghép từ những đoạn khác nhau, do đó trên những đoạn con này chúng ta xây dựng các đường cong Bezier có bậc nhỏ hơn.
Hình 5.25 – Hàm trộn của các đa thức
Việc tạo các đường cong phức tạp bằng cách ghép nối các đoạn nhỏ hơn cho phép người dùng kiểm soát những thay đổi cục bộ (local variation) của đường cong tốt hơn. Vì đường cong Bezier đi qua hai điểm đầu và cuối, nên rất dễ dàng kết hợp các đoạn cong (liên tục bậc 0). Hơn nữa, đường cong Bezier còn có một tính chất quan trọng nữa đó là tiếp tuyến với đường cong tại một điểm đầu hoặc cuối thì nằm trên đường thẳng nối điểm đó với điểm kiểm soát kế nó. Do đó, để nhận được sự liên tục bậc một giữa các đoạn cong, ta chỉ cần đặt các điểm kiểm soát sao cho các điểm pn-1 và pn của một đoạn cong trước và các điểm p0 và p1 của đoạn cong kế tiếp nằm trên cùng một đường thẳng. Hình vẽ 5.26 minh họa quá trình nhận được sự liên tục bậc 0 và liên tục bậc 1 khi ghép nối hai đoạn cong Bezier bằng cách cho P’0 = P2 và cho các điểm P1 , P2 và P’1 thẳng hàng. Đối với các đường cong Bezier thường không đòi hỏi tính liên tục bậc hai.
Hình 5.26 – Ghép nối hai đoạn cong
Cài đặt minh họa thuật toán vẽ đường cong Bezier qua (N+1) điểm kiểm soát
#include<graphics.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
#include<math.h>
#define MAXPOINTS 100 // So diem kiem soat toi da
#define MAXSEG 100 // So diem toi da thuoc duong cong
typedef struct
{
int x;
int y;
}POINT;
// Kieu mang cac diem thuoc duong cong
typedef POINT BEZPOINT[MAXSEG+1];
// Kieu mang cac diem kiem soat
typedef POINT CTRLPOINT[MAXPOINTS+1];
// Kieu mang luu he so C(k, N)
typedeflong COEFF[MAXPOINTS+1];
// Tinh he so aCoeff[i]= C(k, n)= N!/k!*(N-k)! =(k+1)(k+2)....N)/(N-k)!;
// aCoeff co (N+1) phan tu danh so tu 0 den N
void ComputeCoefficient(COEFF aCoeff,int N)
{
for(int k=0; k<=N; k++)
{
aCoeff[k]= 1;
for(int j=N; j>k; j--)
aCoeff[k]*= j;
for(j=2; j<=N-k; j++)
aCoeff[k]/= j;
}
}
// Tinh t^k*(1-t)^N-k
float BlendingFunc(float t,int N,int k)
{
float fRes;
fRes = 1;
for(int i=0; i<k; i++)// Tinh t^k
fRes *=t;
for(i=0; i<N-k; i++)// Tinh (1-t)^N-k
fRes *=(1-t);
return fRes;
}
/*
Phat sinh mot diem thuoc duong cong ung voi mot gia tri t nao do
aCtrlPt : Mang cac diem kiem soat (N+1)
N : So diem kiem soat
aCoeff : Mang luu he so C(k, N) da duoc tinh truoc khi goi
t : gia tri thuc.
*/
POINT FindBezPt(CTRLPOINT aCtrlPt,int N, COEFF aCoeff,float t)
{
POINT BezPt;
float B, x, y;
x = 0;
y = 0;
for(int k=0; k<=N; k++)
{
B = BlendingFunc(t, N, k);
x += aCtrlPt[k].x*aCoeff[k]*B;// pk*B(k, N)
y += aCtrlPt[k].y*aCoeff[k]*B;
}
BezPt.x = x;
BezPt.y = y;
return BezPt;
}
// Phat sinh cac diem thuoc duong cong Bezier voi (N+1) diem kiem soat
void BezCurve(BEZPOINT aBezPt,int NumBezPt, CTRLPOINT aCtrlPt,int N)
{
COEFF aCoeff;
POINT Pt;
ComputeCoefficient(aCoeff, N);
for(int i=0; i<=NumBezPt ; i++)
{
aBezPt[i]= FindBezPt(aCtrlPt, N, aCoeff,(1.0*i)/NumBezPt);
}
}
// Ve da giac kiem soat
void DrawCtrlPt(CTRLPOINT aCtrlPt,int N)
{
for(int i=0; i<N; i++)
line(aCtrlPt[i].x, aCtrlPt[i].y, aCtrlPt[i+1].x, aCtrlPt[i+1].y);
}
// Ve duong cong Bezier
void DrawBezCurve(BEZPOINT aBezPt,int NumBezPt)
{
for(int i=0; i<NumBezPt; i++)
line(aBezPt[i].x, aBezPt[i].y, aBezPt[i+1].x, aBezPt[i+1].y);
}
Các đường cong Bezier bậc ba
Như đã nhận xét ở trên, độ phức tạp tính toán của các đường cong Bezier tăng nhanh theo bậc của chúng. Trong thực tế, nhiều hệ đồ họa chỉ cung cấp các hàm vẽ đường cong Bezier bậc ba, các đường cong này được phát sinh bởi bốn hàm trộn 
,
,
,
. Ta có công thức tường minh của các đa thức này như sau:
(5.19)
Khai triển các đa thức biểu diễn các hàm trộn trên, ta có thể viết hàm Bezier bậc ba dưới dạng ma trận như sau:
(5.20)
trong đó ma trận Bezier có giá trị:
(5.21)
Tại hai đầu cuối của đường cong Bezier bậc ba, phương tiếp tuyến (đạo hàm bậc một) có giá trị:
p’(0) = 3(p1 - p0), p’(1) = 3(p3 - p2)
Đạo hàm bậc hai tại các điểm này lần lượt sẽ là:
p’’(0) = 6(p0 - 2p1 + p2), p’(1) = 6(p1 - 2p2 + p3)
Ta có thể dùng các biểu thức trên để tạo ra các đường cong có độ trơn bậc một hoặc bậc hai từ các đoạn cong vẽ bằng hàm Bezier bậc ba.
Các tính chất của đường cong Bezier
- Luôn đi qua điểm đầu và điểm cuối
Đường cong Bezier dựa trên các điểm kiểm soát p0, p1, .., pL không hoàn toàn đi qua hay nội suy từ tất cả các điểm kiểm soát nhưng nó luôn luôn đi qua điểm đầu và điểm cuối. Đây là tính chất cực kì thú vị bởi vì nó cho phép chúng ta biết chính xác nơi bắt đầu và kết thúc của đường cong Bezier.
Thật vậy, ta có đa thức Bernstein cho các điểm đầu p0 và cuối pL lần lượt là B0L(t) = (1-t)L và BLL (t) = tL. Do đó, với t=0, ta có : p(0) = p0 và với t =1 thì p(1) = pL.
- Tính bất biến affine (Aoffine invariance)
Khi thực hiện phép biến đổi affine cho một đường cong Bezier ta không cần phải biến đổi hết các điểm thuộc đường cong mà chỉ cần biến đổi các điểm kiểm soát, sau đó tạo lại đường cong Bezier dựa trên tập các điểm kiểm soát mới này. Điều này có nghĩa là đường cong Bezier bất biến với phép biến đổi affine.
Thật vậy : Xét đường cong
(5.22)
q(t) là đường cong Bezier được tạo ra bởi tập điểm kiểm soát qk=(pkM+tr) là ảnh của pk qua phép biến đổi affine với ma trận biến đổi M và vector tịnh tiến tr. Ta sẽ chứng minh đường cong này cũng chính là ảnh 
:
(5.23) của đường cong Bezier p(t).
Từ (5.15) ta có :
nhưng tổng 
nên ta suy ra điều cần chứng minh.
- Tính chất bao lồi (Convex hull property)
Đường cong Bezier không bao giờ nằm ngoài bao lồi của nó.
Ta biết bao lồi của một tập các điểm p0, p1, ..., pL là một đa giác lồi nhỏ nhất chứa tất cả các điểm đó. Nó cũng chính là tập tất cả các tổ hợp lồi :
trong đó a k ³ 0 và 
(5.24)
p(t) chính là tổ hợp lồi của các điểm kiểm soát của nó với mọi giá trị của t vì các giá trị của các đa thức Bernstein không âm và có tổng là 1 nên mọi điểm của đường cong Bezier sẽ luôn nằm trong bao lồi của các điểm kiểm soát.
- Tính chất chính xác tuyến tính (Linear precision)
Đường cong Bezier có thể trở thành một đường thẳng khi tất cả các điểm kiểm soát nằm trên một đường thẳng, bởi vì lúc này bao lồi của đường cong Bezier là đường thẳng.
Số giao điểm của một đường thẳng hay mặt phẳng bất kì với đường cong Bezier luôn nhỏ hơn số giao điểm của nó với đa giác kiểm soát.
Dạng ma trận của đường cong Bezier
Ta biểu diễn lại tập các đa thức Bernstein và tập các điểm kiểm soát dưới dạng vector như sau :
Lúc này 
Hay viết dưới dạng nhân ma trận là 
. Với PT là chuyển vị của P.
Ta có thể viết lại đa thức Bernstein dưới dạng sau :
Do đó ta có : 
Trong đó : 
.
và 
là ma trận mà mỗi dòng i của nó chính là bộ 
của biểu diễn đa thức 
. Ta sẽ tính được :
(5.25)
Với đường cong Bezier, ta có thể tạo ra các dạng đường cong khác nhau bằng cách hiệu chỉnh các điểm kiểm soát cho tới khi có được dạng đường cong thỏa mãn yêu cầu đặt ra ban đầu. Tuy nhiên, việc hiệu chỉnh thật không đơn giản chút nào nếu ta quan sát quá trình được mô tả bằng hình 5.27, trong đó một phần của đường cong Bezier đã đúng và phần còn lại thì cần phải hiệu chỉnh thêm.
Chúng ta có 5 điểm kiểm soát và đường cong Bezier được tạo ra từ chúng có nét liền so với đường cong mà ta cần phải vẽ có nét gạch đứt quãng. Ta nhận thấy rằng với t gần 0 thì đường cong Bezier có vẻ khớp so với đường cong cần vẽ nhưng lại lệch khi t gần 1. Chúng ta sẽ di chuyển p2, p3 lên một tí để đường cong Bezier khớp với đường cần vẽ, tuy nhiên điều này lại gây ra hiệu ứng làm cho phần đầu của đường cong lệch đi.
Hình 5.27 – Hiệu chỉnh một đường cong
Như vậy, khó khăn ở đây là do khi ta thay đổi bất kì một điểm kiểm soát nào thì toàn bộ đường cong cũng sẽ bị thay đổi theo. Điều này thật dễ hiểu do tất cả các đa thức Bernstein đều khác 0 trên toàn đoạn [0,1].
Để giải quyết bài toán này ta sẽ sử dụng một tập các hàm trộn khác nhau R0(t), R1(t), ... chứ không phải chỉ một hàm BkL(t) như trong trường hợp Bezier. Các hàm trộn này có giá mang (đoạn trên đó hàm lấy giá trị khác 0) chỉ là một phần của đoạn [0, 1], ngoài giá mang này chúng có giá trị là 0. Bằng cách này, đường cong chỉ phụ thuộc vào một số điểm kiểm soát mà thôi.
Các hàm trộn mà ta đề cập đến ở đây chính là tập các đa thức được định nghĩa trên các đoạn kề nhau để khi nối lại với nhau tạo nên một đường cong liên tục. Các đường cong như vậy được gọi là đa thức riêng phần (piecewise polynomials).
Ví dụ ta định nghĩa hàm g(t) bao gồm ba đa thức a(t), b(t), c(t) như sau :
(5.26)
Giá mang của g(t) là [0, 3], của a(t) là [0, 1], của b(t) là [1, 2], của c(t) là [2, 3].
Các điểm tại các đoạn đường cong gặp nhau được gọi là các điểm nối (joints), và giá trị t tại các điểm đó được gọi là nút (knot).
Có thể kiểm chứng được g(t) liên tục tại mọi nơi trên giá mang của nó, nên đường cong tại các chỗ nối là trơn. g(t) là một ví dụ của hàm Spline.
Hình 5.28 – Các thành phần của một đa thức riêng phần
Định nghĩa hàm Spline
Một hàm Spline cấp M là một đa thức riêng phần cấp M có các đạo hàm cấp (M-1) liên tục ở mỗi nút.
Rõ ràng theo định nghĩa thì g(t) là một Spline bậc hai.
Định nghĩa đường cong Spline
Ta xây dựng đường cong p(t) dựa trên (L+1) điểm kiểm soát bằng cách sử dụng các hàm Spline làm các hàm trộn như sau :
Xây dựng tập các nút t0, t1, .., với tiÎ R và ti L ti+1.
Vector T = (t0, t1, ... ) được gọi là vector nút.
Với mỗi điểm kiểm soát pk ta kết hợp nó với một hàm trộn tương ứng là Rk(t). Rk(t) là đa thức riêng phần liên tục trên mỗi đoạn con [ti, ti+1] và liên tục tại mỗi nút.
Khi đó : 
Các đoạn đường cong riêng phần này gặp nhau tại các điểm nút và làm cho đường cong liên tục. Ta gọi những đường cong như vậy là đường cong Spline.
Vấn đề được đặt ra tiếp ở đây : Cho trước một vector nút, có tồn tại hay không họ các hàm trộn sao cho chúng có thể phát sinh ra mọi đường cong Spline được định nghĩa trên vector nút đó. Một họ các hàm như vậy được gọi là cơ sở cho Spline, nghĩa là bất kì đường cong Spline nào cũng có thể được đưa về cùng một công thức bằng cách chọn đa giác kiểm soát phù hợp.
Câu trả lời là có nhiều họ hàm như vậy, nhưng đặc biệt có một họ hàm trộn có giá mang nhỏ nhất đó là B-Spline (B là từ viết tắt của basis).
Định nghĩa đường cong B-Spline
Một đường cong B-Spline cấp m xây dựng dựa trên vector nút T và (L+1) điểm kiểm soát pk có dạng :
Trong đó Nk,m(t) là đa thức có bậc (m-1) có công thức đệ quy :
,
k=0, 1, .., L
với 
Các điểm ti có thể được xác định theo nhiều cách khác nhau. Một trong các cách đó là cho ti = i, lúc này khoảng cách giữa các điểm nút là bằng nhau. Hay ta có một cách định nghĩa khác :
với i = 0, …,L+m.
Để mô tả và vẽ các mặt cong ta cũng có thể dùng các hàm trộn Bezier và B-Spline tương tự như trong trường hợp đường cong.
Các mảnh Bezier (Bezier surface patches)
Xét đường cong Bezier như là một hàm theo tham số v và có các điểm kiểm soát thay đổi theo u. Ta có công thức :
Lúc này, khi u thay đổi ta sẽ có các điểm kiểm soát thay đổi kéo theo đường cong Bezier cũng thay đổi theo. Sự biến thiên của các đường cong Bezier này trong không gian sẽ tạo ra một mặt cong.
Khi u thay đổi, các điểm pk(u) sẽ thay đổi trên một đường cong nào đó. Nếu cho các đường cong này chính là các đường cong Bezier, mỗi đường cong dựa trên (M+1) điểm kiểm soát thì :
Lúc này :
Ta gọi đây là dạng tích tensor của mảnh Bezier.
Dán các mảnh Bezier lại với nhau
Mục đích là để tạo ra một dạng mặt cong phức tạp gồm nhiều mảnh Bezier kết hợp lại với nhau sao cho trơn tru tại các biên chung.
Khi dán hai mảnh Bezier lại với nhau (mỗi mảnh có một khối đa diện kiểm soát riêng và cùng sử dụng công thức ở trên với u,v biến thiên trong đoạn [0, 1]), vấn đề là làm sao để chúng có thể dán vào nhau một cách trơn tru ?
Hai mảnh sẽ gắn vào nhau ở tất cả các điểm dọc biên chung nếu các đa diện kiểm soát của chúng trùng khớp với nhau ở biên. Điều này có được là do dạng của đường cong Bezier biên chỉ phụ thuộc vào đa giác kiểm soát nằm ở biên của khối đa diện kiểm soát. Do đó, để dán được ta chỉ cần chọn các đa giác kiểm soát biên cho hai mặt là trùng nhau.
Hình 5.29 - Minh họa hai mảnh Bezier dán lại với nhau
Về tính liên tục tại tiếp tuyến, điều kiện đủ là mỗi cặp cạnh của các khối đa diện tại biên phải là cộng tuyến.
Các mảnh B-Spline (B-Spline patches)
Các hàm B-Spline có thể dùng ở dạng tích tensor thay cho dạng đa thức Bernstein để đạt được tính kiểm soát cao hơn khi thiết kế mặt cong :
Khối đa diện kiểm soát có (M+1)x(L+1) đỉnh và u, v biến thiên từ 0 tới giá trị lớn nhất của nút trong các vector nút tương ứng của chúng.
Thông thường để thiết kế, người ta vẫn dùng các B-Spline cấp 4 (tức là cubic B-Spline) và do việc chọn số điểm kiểm soát không hạn chế (số lượng các điểm không ảnh hưởng đến bậc của đa thức như đối với đường cong Bezier) nên người ta có thể tạo ra các dạng mặt cong rất phức tạp. Tất nhiên trước đó, người ta phải chọn ra một đa diện nút (knot polyhedron) để tạo ra mặt cong có dạng mong muốn.
Chúng ta vừa tìm hiểu một trong các mô hình dùng để vẽ các đối tượng ba chiều trên máy tính : đó là mô hình khung nối kết. Theo mô hình này, một đối tượng ba chiều có thể được mô tả bởi tập các đỉnh và tập các cạnh, do đó các đối tượng được thể hiện chưa được gần thực tế lắm, nó mới chỉ là khung rỗng của đối tượng mà thôi. Sau này bằng các kĩ thuật tô màu, khử các đường và mặt khuất chúng ta sẽ khắc phục được các hạn chế này.
Để vẽ các đối tượng ba chiều bằng mô hình khung nối kết, mỗi cạnh phải được chiếu theo một cách nào đó từ tọa độ ba chiều sang hai chiều. Qua đó chúng ta cũng đã tìm hiểu hai phép chiếu khá đơn giản để làm việc này đó là phép chiếu trực giao và phép chiếu phối cảnh. Phép chiếu trực giao chỉ đơn giản là bỏ đi một trong ba tọa độ của điểm chiếu bằng cách cho các tia chiếu song song với một trong các trục tọa độ. Phép chiếu phối cảnh thì sử dụng một điểm cố định gọi là mắt và hình chiếu của các điểm được xác định bằng giao điểm của tia chiếu (nối điểm chiếu và mắt ) với mặt phẳng quan sát. Phép chiếu phối cảnh hội tụ tại mắt nên đối tượng càng xa trông càng nhỏ và ngược lại.
Các phép chiếu trực giao và phối cảnh đều bảo toàn đường thẳng, đây là một tính chất rất hay giúp ta vẽ các đường thẳng ba chiều đơn giản hơn vì chỉ cần xác định hai hình chiếu của hai điểm đầu và cuối mà thôi.
Biểu diễn các mặt trong đồ họa máy tính là một vấn đề luôn được đặt ra khi muốn mô tả các đối tượng lập thể trong thế giới thực. Chúng ta đã khảo sát về các phương pháp biểu diễn mặt phẳng và mặt cong thông qua dạng phương trình tham số. Trong đó, phương trình tham số của một mặt có dạng là một phương trình tham số hai biến p(u, v) và một điểm bất kì trên mặt sẽ được biểu diễn dưới dạng p(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Chúng ta đã khảo sát một số mặt đơn giản như các mặt có quy luật và các mặt tròn xoay để minh họa cho việc xác định các hàm x(), y(), z() trong biểu diễn trên.
Việc tạo ra các đường cong theo ý muốn cũng là vấn đề thường gặp khi làm việc với đồ họa máy tính. Chúng ta đã khảo sát cách tiếp cận vẽ đường cong bằng Bezier và B-Spline. Cách tiếp cận này dựa trên cơ sở để vẽ đường cong bằng một tập điểm mô tả hình dáng của đường cong gọi là tập điểm kiểm soát. Khi thay đổi tập điểm này, hình dáng của đường cong sẽ thay đổi theo. Cách tiếp cận này cho thấy sự thuận lợi và linh hoạt khi cần phải vẽ các đường cong phức tạp và do đó nó được dùng nhiều trong thiết kế.
Một nhược điểm trong cách vẽ đường cong bằng Bezier là khi một phần đường cong đã đạt yêu cầu, nhưng khi hiệu chỉnh phần còn lại sẽ làm mất đi phần đã đạt yêu cầu. Để khắc phục vấn đề này ta có cách tiếp cận cải tiến vẽ đường cong bằng B-Spline.
Trên cơ sở của việc vẽ các đường cong bằng Bezier và B-Spline chúng ta cũng có thể xây dựng được các mặt cong Bezier và B-Spline.
1. Viết chương trình cho phép người dùng định nghĩa một vật thể ba chiều bằng mô hình khung nối kết. Vẽ vật thể trên dùng lần lượt phép chiếu trực giao và phép chiếu phối cảnh.
2. Viết chương trình vẽ các mặt đơn giản đã được khảo sát như hình trụ, hình nón, hình cầu, ….
3. Nhận xét cách tiếp cận vẽ đường trong thuật toán Casteljau khác với cách tiếp cận vẽ các đối tượng đồ họa cơ sở ở chương trước như thế nào ?
4. Cài đặt thuật toán vẽ đường cong bằng Bezier cho phép người dùng định nghĩa tập điểm kiểm soát mô tả hình dạng đường cong và cho phép người dùng hiệu chỉnh một số điểm kiểm soát để hiệu chỉnh đường cong theo ý muốn.
5. Viết chương trình vẽ đường Spline
6. Viết chương trình vẽ các mặt Bezier.
