Giải Toán lớp 7 Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Giải Toán lớp 7 Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 36 (trang 72 SGK Toán 7 tập 2): Cho tam giác DEF, điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của nó. Chứng minh I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.

Lời giải

Từ điểm I ta kẻ IA ⊥ DE; IB ⊥ EF và IC ⊥ DF

– Vì điểm I cách đều hai cạnh DE và DF nên I nằm trên đường phân giác của góc EDF (định lí 2 – định lí đảo của tia phân giác)

Tương tự ta suy ra điểm I nằm trên tia phân giác của góc DEF và góc EFD.

Vậy I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.

Bài 37 (trang 72 SGK Toán 7 tập 2): Nêu cách vẽ điểm K ở trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau. Vẽ hình minh họa.

Lời giải

– Cách vẽ: Vẽ tia phân giác MJ của góc M, tia phân giác NQ của góc N. Giao điểm của hai tia phân giác chính là điểm K cần vẽ.

– Chứng minh: Vì K là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác MNP nên K cách đều ba cạnh của tam giác đó (theo định lí giao điểm của ba đường phân giác.)

Bài 38 (trang 73 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 38.

a) Tính góc KOL.

b) Kẻ tia IO, hãy tính góc KIO.

c) Điểm O có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không? Tại sao?

Lời giải

b) ΔKIL có O là giao điểm của hai đường phân giác KO và LO nên OI là đường phân giác của góc KIL (định lí ba đường phân giác cùng đi qua một điểm).

Do đó:

c) Điểm O có cách đều 3 cạnh của tam giác IKL bởi vì O là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác đó.

Bài 39 (trang 73 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 39.

a) Chứng minh ΔABD = ΔACD

b) So sánh góc DBC và góc DCB.

Hình 39

Lời giải

a) Xét ΔABD và ΔACD có:

AB = AC

góc BAD = góc CAD

AD là cạnh chung

=> ΔABD = ΔACD (c.g.c) (đpcm).

b) Từ câu a) ta có: ΔABD = ΔACD

=> BD = CD

=> ΔBDC cân tại D.

Suy ra: góc DBC = góc DCB (đpcm)

Bài 40 (trang 73 SGK Toán 7 tập 2): Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.

Lời giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC.

– Vì G là trọng tâm nên G nằm trên trung tuyến AM (1).

– Vì I cách đều ba cạnh của tam giác => I là giao điểm của ba đường phân giác trong của ΔABC.

– ΔABC cân nên đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến (tính chất trang 71 sgk Toán 7 tập 2). Do đó, I nằm trên AM (2).

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, G, I thẳng hàng (đpcm).

Bài 41 (trang 73 SGK Toán 7 tập 2): Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?

Lời giải

(Nhắc lại tính chất trang 71 sgk Toán 7 Tập 2: Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.)

Gọi G là giao điểm của hai đường phân giác AM và BN.

– Xét ΔBAC cân tại A có AM là đường phân giác. Áp dụng tính chất trang 71 sgk Toán 7 Tập 2 suy ra AM là trung tuyến.

– Tương tự, xét ΔABC cân tại B có BN là đường phân giác. Áp dụng tính chất suy ra BN là trung tuyến.

Do đó G cũng là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN suy ra G là trọng tâm của ΔABC.

Vậy trọng tâm của tam giác cũng cách đều ba cạnh của nó.

Bài 42 (trang 73 SGK Toán 7 tập 2): Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.

Gợi ý: Trong ΔABC, nếu AD là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài AD một đoạn DA, sao cho DA₁ = AD.

Lời giải

Gọi AD là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của góc A trong ΔABC

Kéo dài AD một đoạn DA₁ sao cho AD = DA₁

Bài 43 (trang 73 SGK Toán 7 tập 2): Đố: Có hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tại hai địa điểm khác nhau (h.40).

Hãy tìm một địa điểm để xây dựng một đài quan sát sao cho khoảng cách từ đó đến hai con đường và đến bờ sông bằng nhâu.

Có tất cả mấy địa điểm như vậy?

Lời giải

Ta hình dung hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tạo thành một tam giác ABC.

– Địa điểm để xây dựng đài quan sát thỏa mãn đề bài phải là giao điểm I của 3 đường phân giác trong của tam giác ABC.

– Ngoài ra, giao điểm I' của hai đường phân giác ngoài của góc B và C cũng thỏa mãn đề bài (đã làm ở Bài 32 (trang 70 SGK Toán 7 tập 2))

Vậy có 2 địa điểm để xây dựng đài quan sát là I và I'.