Giải Toán lớp 7 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Giải Toán lớp 7 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 23 (trang 66 SGK Toán 7 tập 2): Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH.

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

Lời giải

Bài 24 (trang 66 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 25. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:

a) MG =… MR; GR =… MR; GR =… MG

b) NS =… NG; NS =… GS; NG =… GS

Hình 25

Lời giải

Từ hình vẽ ta thấy: S, R là hai trung điểm của hai đoạn thẳng trong tam giác nên NS và MR là hai đường trung tuyến.

G là giao của hai đường trung tuyến nên G là trọng tâm của ΔMNS, do đó ta có thể điền:

Bài 25 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Biết rằng: Trong một tam giác vuông. Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:

Cho tam giác vuông ABC có hai góc vuông AB = 3cm, AC= 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải

Áp dụng định lí Pitago cho ΔABC vuông tại A:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25

=> BC = 5cm

Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của ΔABC.

Theo bài:

Bài 26 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

Lời giải

ΔABC cân => AB = AC

Gọi M, N lần lượt là hai trung điểm của cạnh AB và AC, suy ra:

AN = BN = AM = CM (= AB/2 = AC /2)

Cách 1: Xét ΔBAM và ΔCAN có:

– Góc A chung

– AB = AC

– AM = AN

=> ΔBAM = ΔCAN (c.g.c) => BM = CN (đpcm)

Cách 2: Xét ΔBCM và ΔCBN có:

– Cạnh BC chung

– góc BCM = góc CBN (do ΔABC cân)

– CM = BN

=> ΔBCM = ΔCBN (c.g.c) => BM = CN (đpcm)

(Còn một số cách chứng minh khác, nhưng do giới hạn kiến thức lớp 7 nên mình xin sẽ không trình bày.)

Bài 27 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Lời giải

Vẽ ΔABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB và gọi G là trọng tâm của tam giác. Theo bài, CN = BM.

(kí hiệu đđ chỉ hai góc đối đỉnh)

Bài 28 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.

a) Chứng minh ΔDEI = ΔDFI.

b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?

c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.

Lời giải

a) Xét ΔDEI và ΔDFI có:

– DE = DF (ΔDEF cân)

– DI là cạnh chung.

– IE = IF (DI là trung tuyến)

=> ΔDEI = ΔDFI (c.c.c)

(Cách khác: Nếu bạn thay điều kiện DI là cạnh chung bằng điều kiện góc DEI = góc DFI thì chúng ta có cách chứng minh theo trường hợp c.g.c)

b) Theo câu a) ta có ΔDEI = ΔDFI nên góc DIE = góc DIF

Mà góc DIE + DIF = 180^o

Nên góc DIE = góc DIF = 180^o/2 = 90^o

c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm

ΔDIE vuông tại I => DI² = DE² – EI² (định lí Pitago)

=>DI² = 13² – 5² = 144

=>DI = 12

Bài 29 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng:

GA = GB = GC

Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập 26.

Mời bạn tham khảo lời giải Bài 26 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2).

Lời giải

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB.

(Lưu ý: Bài này yêu cầu áp dụng định lý ở bài tập 26, do đó ở một số sách giải hay trang web sử dụng câu "Vì ΔABC đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau" là chưa phù hợp với lời giải bài tập này. Các bạn cần lưu ý.)

Bài 30 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G' sao cho G là trung điểm của AG'.

a) So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải

a) Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.

Vậy mỗi cạnh của ΔBGG' bằng 2/3 đường trung tuyến của ΔABC.

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BG và BG'.

Vậy mỗi đường trung tuyến của ΔBGG' bằng một nửa cạnh của ΔABC tương ứng với nó.