Giải Toán lớp 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Giải Toán lớp 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Bài 1 (trang 18 SGK Hình học 12):

Lời giải:

Học sinh tự giải

Bài 2 (trang 18 SGK Hình học 12):

Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).

Lời giải:

Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁; O₁, O₂ lần lượt là tâm của ABCD và ABB₁A₁. Khi đó O₁O₂ là đường trung bình của tam giác A₁BD.

Suy ra O₁O₂ =A₁D/2 = a√2/2

Từ đó ta có: Đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt có chung một cạnh của hình lập phương thì có độ dài bằng a√2/2.

Vậy sáu tâm của sáu mặt của hình lập phương tạo thành tám tam giác đều cạnh a√2/2, mỗi tâm là đỉnh chung của đúng bốn tam giác đều, và tám tam giác đều này là tám mặt của hình tám mặt đều cạnh bằng a√2/2.

Diện tích toàn phần của hình lập phương là S₁ = 6a².

Diện tích toàn phần của hình bát diện đều là:

Bài 3 (trang 18 SGK Hình học 12):

Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều.

Lời giải:

Bài 4 (trang 18 SGK Hình học 12):

Cho hình bát diện đều ABCDEF.

Chứng minh rằng:

a)Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b)ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông.

Lời giải:

a)Ta có: B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF (1)

-Trong mp(BCDE), ta có BC = CD = DE = EB

Suy ra tứ giác BCDE là hình thoi hoặc hình vuông (2)

-Mặt khác AB = AC = AD = AE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BCDE là hình vuông.

Vậy BD và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Chứng minh như trên ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b)Ta có: BCDE là hình vuông (chứng minh trên).

Tương tự, ABFD và AEFC cũng là những hình vuông.