Giải Toán lớp 12 Bài 1: Khái niệm về khối đa diện

Giải Toán lớp 12 Bài 1: Khái niệm về khối đa diện

Bài 1 (trang 12 SGK Hình học 12):

Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ:

Lời giải:

*Gọi a là số cạnh, b là số mặt của khối đa diện.

Nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì mỗi mặt có ba cạnh. Trong ba cạnh đó mỗi cạnh lần lượt là cạnh chung của hai mặt.

Ta có 3b = 2a. Nghĩa là b chẵn.

*Ví dụ: hình 1,2

Bài 2 (trang 12 SGK Hình học 12):

Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.

Lời giải:

Cho khối đa diện G có các đỉnh là B₁, B₂,…, B_n và gọi M₁, M₂,…, M_n lần lượt là số các mặt của H nhận chúng làm đỉnh chung. Tổng số các cạnh của G là:

C = (M₁ + M₂ + … + M_n)/2

Vì C là số nguyên dương nên:

M₁ + M₂ + … + M_n là số chẵn.

Đồng thời M₁,M₂,…, M_n là n số tự nhiên lẻ nên tổng của chúng là số chẵn khi n chẵn.

Ví dụ: Hình chóp ngũ giác B₁B₂B₃B₄B₅B₆ có: B₁ là đỉnh chung của 5 mặt bên. Mỗi đỉnh B₁, B₂, B₃, B₄, B₅, B₆ là đỉnh chung của ba mặt (hình trên).

Bài 3 (trang 12 SGK Hình học 12):

Chia một khối lập phương thành năm khối tứ diện.

Lời giải:

Trong hình bên, ta có thể chia thành năm khối tứ diện là CBDC¹, B¹A¹C¹B, ABDA¹, BDA¹C¹, D¹A¹C¹D.

Bài 4 (trang 12 SGK Hình học 12):

Chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau.

Lời giải:

Trong hình bên, ta có thể chia thành sáu khối tứ diện bằng nhau như sau:

+Chia khối lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ thành hai khối lăng trụ tam giác bằng nhau: ABD.A₁B₁D₁ và BCD.B₁C₁D₁.

+Tiếp đó, lần lượt chia khối lăng trụ ABD.A₁B₁D₁ và BCD.B₁C₁D₁ thành ba tứ diện: DABB₁, DAA₁B₁ và DCBB₁, DCC₁B₁, DD₁C₁B₁.

+Ta chứng minh được các khối tứ diện này bằng nhau như sau:

-Hai khối tứ diện DABB₁ và DAA₁B₁ bằng nhau vì chúng đối xứng nhau qua mặt phẳng (DAB₁) (1)

-Hai khối tứ diện DAA₁B₁ và DD₁A₁B₁ bằng nhau vì chúng đối xứng nhau qua mặt phẳng (B₁A₁D) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba khối tứ diện DABB₁, DAA₁B₁ và DD₁A₁B₁ bằng nhau.

-Tương tự, ba khối tứ diện DCBB₁, DCC₁B₁, DD₁C₁B₁ cũng bằng nhau.

Vậy khối lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ được chia thành sáu khối tứ diện bằng nhau.

Từ khóa tìm kiếm:

• bài tập toán hình 12 bài khái niệm về thể tích khối đa diện
• giải bài tập hóa 10 baì17
• khối đa diện có các mặt là các tam giác thì số mặt của nó là