Giải SBT Toán 12 bài 3: Phương trình đường thẳng

Hình học 12 - Phương trình đường thẳng

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 3: Phương trình đường thẳng, tài liệu kèm theo lời giải chi tiết sẽ giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập. Mời các bạn học sinh và thầy cô cùng tham khảo.

Giải SBT Toán 12 bài 3

Bài 3.31 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a) Δ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương a^→=(3;3;1);

b) Δ đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x – y + z + 9 = 0

c) Δ đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương a^→=(3;3;1) là {x=1+3t;y=2+3t;z=3+t

Phương trình chính tắc của Δ là x−1/3=y−2/3=z−3/1

b) Δ⊥(α)⇒a_Δ^→=a_α^→=(2;−1;1)

Phương trình tham số của Δ là {x=1+2t;y=−t;z=−1+t

Phương trình chính tắc của Δ là x−1/2=y/−1=z+1/1

c) Δ đi qua hai điểm C và D nên có vecto chỉ phương CD^→=(1;2;3)

Vậy phương trình tham số của Δ là {x=1+t;y=−1+2t;z=1+3t

Phương trình chính tắc của Δ là x−1;1=y+1/2=z−1/3

Bài 3.32 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Viết phương trình của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α): x +2z = 0 và cắt hai đường kính

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d₁ và d₂ với (α). Đường thẳng Δ cần tìm chính là đường thẳng AB.

Ta có: A(1−t;t;4t)∈d₁

A∈(α)⇔t+4.(2t)=0⇔t=0

Suy ra: A(1; 0; 0)

Ta có: B(2−t′;4+2t′;4)∈d₂

B∈(α)⇔4+2t′+8=0⇔t′=−6

Suy ra B(8; -8; 4)

Δ đi qua A, B nên có vecto chỉ phương a_Δ^→=AB^→=(7;−8;4)

Phương trình chính tắc của Δ là: x−1/7=y/−8=z/4

Bài 3.33 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a) d:x+1/1=y−1/2=z+3/3 và d′:x−1/3=y−5/2=z−4/2

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có: a_d^→=(1;2;3) và ad′^→=(3;2;2)

Suy ra n^→=a_d^→∧a_d′^→=(−2;7;−4)

Ta có M₀(−1;1;−2)∈d,M₀′(1;5;4)∈d′⇒M₀M₀′→=(2;4;6)

Ta có n^→.M₀M_0′^→=−4+28−24=0. Vậy đường thẳng d và d’ đồng phẳng và khác phương, nên d và d’ cắt nhau.

b) Ta có a_d^→=(1;1;−1) và a_d′=(2;2;−2).M₀(0;1;2)∈d

Vì {a_d′^→=2a_d^→;M0∉d′ (tọa độ M₀ không thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d và d’ song song.

c) d có vecto chỉ phương a_d^→=(−1;3;−2)

d’ có vecto chỉ phương a_d′^→=(0;0;5)

Gọi n^→=a_d^→∧a_d′^→=(15;5;0)≠0^→

Ta có M₀₍0;0;−1)∈d

M′₀(0;9;0)∈d′⇒M₀M_0′^→=(0;9;1),n^→.M₀M_0′^→=45≠0

Vậy d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau.

Bài 3.34 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

Hướng dẫn làm bài:

Ta có a_d^→=(1;a;−1) và a_d′^→=(2;4;−2)

d//d′⇒1/2=a/4=−1/−2⇒a=2

Khi đó M′₀(1;2;2) thuộc d’ và M’₀ không thuộc d. Vậy d // d’ ⟺ a = 2.

Bài 3.35 trang 129 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau

Hướng dẫn làm bài:

a) Thay x, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) ta được: t + 2(1 + 2t) + (1 – t) – 3 = 0

⟺ 4t = 0 ⟺ t = 0

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại M₀(0; 1; 1).

b) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của (α) ta được: (2 – t) +(2 + t) + 5 = 0 ⟺ 0t = -9

Phương trình vô nghiệm, vậy đường thẳng d song song với (α)

c) Thay x, y, z trong phương trình tham số của d vào phương trình tổng quát của (α) ta được: (3 – t) + (2 – t) + (1 + 2t) – 6 = 0 ⟺ 0t = 0

Phương trình luôn thỏa mãn với mọi t. Vậy d chứa trong (α)

Bài 3.36 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng Δ:x−1/2=y/2=z/1

Hướng dẫn làm bài:

Đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(1; 0; 0) và có vecto chỉ phương a^→=(2;2;1).

Ta có M₀A^→=(0;0;1),n^→=a^→∧M₀A^→=(2;−2;0).

d(A,Δ)=|n^→|/|a^→|=√4+4+0/√4+4+1=2√2/3

Vậy khoảng cách từ điểm A đến Δ là 2√2/3

Bài 3.37 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho đường thẳng Δ: x+3/2=y+1/3=z+1/2 và mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng Δ song song với (α).

b) Tính khoảng cách giữa Δ và (α)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có: a_Δ^→=(2;3;2) và n_α^→=(2;−2;1)

a_Δ^→.n_α^→=4−6+2=0 (1)

Xét điểm M₀(-3; -1; -1) thuộc Δ, ta thấy tọa độ M₀ không thỏa mãn phương trình của (α). Vậy M₀∉(α) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra Δ//(α)

b) d(Δ,(α))=d(M₀,(α))=|2.(−3)−2.(−1)+(−1)+3|/√4+4+1=2/3

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (α) là 2/3.

Bài 3.38 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng Δ và Δ′ trong các trường hợp sau:

Hướng dẫn làm bài:

a) Gọi (α) là mặt phẳng chứa Δ và song song với Δ′. Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là: a^→=(1;−1;0) và a^→′=(−1;1;1). Suy ra n_α^→=(−1;−1;0)

(α) đi qua điểm M₁(1; -1; 1) thuộc Δ và có vecto pháp tuyến: n_α′^→=(1;1;0)

Vậy phưong trình của mặt phẳng (α) có dạng x – 1 + y + 1= hay x + y = 0

Ta có: M₂((2; 2; 0) thuộc đường thẳng Δ′

d(Δ,Δ′)=d(M₂,(α))=|2+2|/√1+1=2√2

b) Hai đường thẳng Δ và Δ′ có phương trình là:

Phương trình mặt phẳng (α) chứa Δ và song song với Δ′ là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên Δ′ .

Ta có d(Δ,Δ′)=d(M′,(α))=|5.(2)−22|/√81+25+4=12/√110

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ′ là 12/√110

Bài 3.39 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hai đường thẳng Δ:x−1/2=y+3/1=z−4/−2

Δ′:x+2/−4=y−1/−2=z+1/4

a) Xét vị trí tương đối giữa Δ và Δ′;

b) Tính khoảng cách giữa Δ và Δ′.

Hướng dẫn làm bài:

a) Δ đi qua điểm M₀(1; -3; 4) và có vecto chỉ phương a^→=(2;1;−2)

Δ′ đi qua điểm M_0’(-2; 1; -1) và có vecto chỉ phương a′^→=(−4;−2;4)

Ta có {a′^→=2a^→;M₀∉Δ′

Vậy Δ′ song song với Δ

b) Ta có M₀M_0′^→=(−3;4;−5)

a^→=(2;1;−2)

n^→=M₀M₀′^→∧a^→=(−3;−16;−11)

d(Δ,Δ′)=M′₀H=|n^→|/|a^→|=√9+256+121/√4+1+4=√386/3

Bài 3.40 trang 130 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng Δ:x−1/2=y+1/−1=z/2

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng Δ;

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng Δ.

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình tham số của

a) Phương trình tham số của Δ:x=1+2t;y=−1−t;z=2t

Xét điểm H(1+2t;−1−t;2t)∈Δ

Ta có MH^→=(2t−1;−t;2t−1)

a_Δ^→=(2;−1;2)

H là hình chiếu vuông góc của M trên Δ⇔MH^→.a_Δ^→=0

⇔2(2t−1)+t+2(2t−1)=0⇔t=4/9

Ta suy ra tọa độ điểm H(17/9;−13/9;8/9)

b) H là trung điểm của MM’, suy ra x_M’ + x_M = 2x_H

Suy ra x_M′=2x_H−x_M=34/9−2=16/9

Tương tự, ta được y_M′=2y_H−y_M=−26/9+1=−17/9

z_M′=2z_H−z_M=16/9−1=7/9

Vậy M′(16/9;−17/9;7/9)

---------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 12 bài 3: Phương trình đường thẳng. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.