Giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Ma trận

Cho ma trận chữ nhật A cấp m x n:

ở đây aij là các số thực. Ma trận này có m hàng và n cột. Khi m = n ta có ma trận cấp nxn và được gọi tắt là ma trận vuông cấp n.

Ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, tức là aij = aji = 0 với i ≠ j, được gọi là ma trận đường chéo. Nếu ma trận đường chéo có aii = 1 thì ta gọi A là ma trận đơn vị và ta thường ký hiệu là E hoặc I.

Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác trên, nếu A có dạng

Tương tự, ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác dưới, nếu A có dạng:.

Định thức của ma trận

Trước khi đưa ra định nghĩa định thức của ma trận, chúng tôi giới thiệu khái niệm hoán vị chẵn, hoán vị lẻ của một tập hợp n số nguyên {1, 2, ..., n}.

Cho α = (i1, i2,..., in) là một hoán vị của tập {1,2,...,n}. Ta xét tất cả các cặp (ik, ih), trong đó k < h. Nếu ik > ih thì ta gọi cặp (ik, ih) là cặp ngược, tức là các giá trị ik, ih được sắp xếp ngược với k,h. Nếu trong α số cặp ngược là chẵn thì ta gọi α là hoán vị chẵn, ngược lại thì ta gọi α là hoán vị lẻ.

Với mỗi ma trận vuông A cấp n:

tồn tại một số thực được gọi là định thức của ma trận A, ký hiệu là det A, được xác định bởi công thức:

Với mỗi ma trận chữ nhật A cấp m x n bất kỳ ta có thể tính định thức của tất cả các ma trận con vuông cấp k, với k ≤ min (m, n). Nếu tồn tại một số r sao cho có một ma trận con cấp r có định thức khác 0, còn mọi ma trận con vuông cấp lớn hơn r đều bằng 0 thì ta nói rằng r là hạng của ma trận A.

Các phép biến đổi sơ cấp sau đây không làm biến đổi hạng của ma trận:

• Đổi chỗ 2 hàng hoặc 2 cột bất kỳ.

• Nhân một hàng hay một cột bất kỳ với một số khác không.

• Cộng các thành phần tương ứng của 2 hàng hoặc hai cột bất kỳ.

Các phép biến đổi sơ cấp sẽ được sử dụng để tính định thức của ma trận và tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.

Ma trận E được gọi là ma trận đơn vị cấp n nếu E là ma trận vuông cấp n và E có dạng