Giải bài tập trang 36, 37 SGK Giải tích 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Giải bài tập trang 36, 37 SGK Giải tích 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Giải bài tập trang 36, 37 SGK Giải tích 11

. Tài liệu hướng dẫn các bạn học sinh giải các bài tập được tổng hợp trong SGK trang 36, 37, từ đó các bạn sẽ hiểu và nắm chắc bài học hơn. Mời các bạn tham khảo.

Giải bài tập trang 17, 18 SGK Giải tích 11: Hàm số lượng giác

Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11: Phương trình lượng giác cơ bản

Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 SGK Giải tích 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Bài 1: (Trang 36 SGK Giải tích lớp 11)

sin²x - sinx = 0

Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:

sin²x - sinx = 0 <=> sinx(sinx - 1) = 0

Bài 2: (Trang 36 SGK Giải tích lớp 11)

Giải các phương trình sau:

a) 2cos²x – 3cosx + 1 = 0;         b) 2sin2x + √2sin4x = 0.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:

a) Đặt t = cosx, t ∈ [-1; 1] ta được phương trình 2t² – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ {1; 1/2}.

Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:

cosx = 1 ⇔ x = k2π và cosx = 1/2 ⇔ x = ±π/3 + k2π.

Đáp số: x = k2π; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.

b) Ta có sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với

Bài 3: (Trang 37 SGK Giải tích lớp 11)

Giải các phương trình sau:

a) sin²(x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0;           b) 8cos²x + 2sinx – 7 = 0;
c) 2tan²x + 3tanx + 1 = 0;                  d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:

a) Đặt t = cos(x/2), t ∈ [-1; 1] thì phương trình trở thành

(1 – t²) – 2t + 2 = 0 ⇔ t² + 2t - 3 = 0 ⇔ 

Phương trình đã cho tương đương với

cos(x/2) = 1 ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.

b) Đặt t = sinx, t ∈ [-1; 1] thì phương trình trở thành

8(1 – t²) + 2t – 7 = 0 ⇔ 8t² – 2t – 1 = 0 ⇔ t ∈ {1/2;-1/4}.

Các nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của hai phương trình sau:

Đáp số: x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π;

x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z.

c) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành 2t² + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ {-1; -1/2}.

Vậy 

d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành

t – 2/t + 1 = 0 ⇔ t² + t – 2 = 0 ⇔ t ∈ {1; -2}.

Vậy 

Bài 4: (Trang 37 SGK Giải tích lớp 11)

Giải các phương trình sau:

a) 2sin²x + sinxcosx – 3cos²x = 0
b) 3sin²x – 4sinxcosx + 5cos²x = 2
c) 3sin²x – sin2x + 2cos²x = 1/2
d) 2cos²x – 3√3sin2x – 4sin²x = -4

Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:

a) Dễ thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho cos²x ta được phương trình tương đương 2tan²x + tanx – 3 = 0.

Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành 2t² + t – 3 = 0 ⇔ t ∈ {1; -3/2}.

Vậy 

b) Thay 2 = 2(sin²x + cos²x), phương trình đã cho trở thành

3sin²x – 4sinxcosx + 5cos²x = 2sin²x + 2cos²x

⇔  sin²x – 4sinxcosx + 3cos²x = 0

⇔ tan²x – 4tanx + 3 = 0

⇔ 

⇔ x = π/4 + kπ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.

c) Thay sin2x = 2sinxcosx; 1/2 = 1/2(sin²x + cos²x) vào phương trình đã cho và rút gọn ta được phương trình tương đương
1/2sin²x + 2sinxcosx – 5/2cos²x = 0 ⇔ tan²x + 4tanx – 5 = 0 ⇔ 

⇔ x = π/4 + kπ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.

d) 2cos²x – 3√3sin2x – 4sin²x = -4

⇔ 2cos²x – 3√3sin2x + 4 – 4sin²x = 0

⇔ 6cos²x – 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = 0

⇔ 

Bài 5: (Trang 37 SGK Giải tích lớp 11)

Giải các phương trình sau:

a) cosx – √3sinx = √2                 b) 3sin3x – 4cos3x = 5
c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0        d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0

Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:

a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2

⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3

⇔ cos(x +π/3) = √2/2

⇔ 

b) 3sin3x – 4cos3x = 5 ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = 1.

Đặt α = arccos thì phương trình trở thành

cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1 ⇔ 3x – α = π/2 + k2π

⇔ x = π/6 + α/3 + k(2π/3), k ∈ Z (trong đó α = arccos3/5).

c) Ta có sinx + cosx =  √2cos(x – π/4) nên phương trình tương đương với 2√2cos(x – π/4) – √2 = 0 ⇔ cos(x – π/4) = 1/2

⇔ 

d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0 ⇔ 15/3cosx + 12/13sinx = 1

Đặt α = arccos5/13 thì phương trình trở thành

cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1

⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong đó α = arccos 5/13).

Bài 6: (Trang 37 SGK Giải tích lớp 11)

a. tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1
b. tanx + tan(x + π/4) = 1

Đáp án và hướng dẫn giải bài 6:

a. tan(2x + 1) tan(3x - 1) = 1

⇔ tan(2x + 1) = 1/tan(3x - 1) = cot(3x - 1)

Vì tan(3x - 1) cot(3x - 1) = 1

⇔  tan(2x + 1)  = tan(π/2 - 3x + 1)

⇔  2x + 1 = π/2 - 3x + 1 + kπ ⇔ x = π/10 + kπ/5 (k ∈ Z)

b. tanx + tan(x + π/2) = 1 ⇔ tan +