Giải bài 53,54,55, 56,57,58, 59,60 trang 89,90 SGK Toán 9 tập 2: Tứ giác nội tiếp

Giải bài 53,54,55, 56,57,58, 59,60 trang 89,90 SGK Toán 9 tập 2: Tứ giác nội tiếp

Đáp án và Giải bài 53, 54, 55, 56, 57 trang 89; Bài 58, 59, 60 trang 90 SGK Toán 9 tập 2: Tứ giác nội tiếp – Chương 3 hình học.

1. Định nghĩa

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là nội tiếp đường tròn)

2. Định lí

Trong một tứ giác nôị tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180⁰

ABCD nội tiếp đường tròn (O)

⇒ 

3. Định lí đảo

Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180⁰ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn

Giải bài tập Bài Góc nội tiếp Toán 9 tập 2 hình trang 89,90

Bài 53. Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bẳng sau (nếu có thể)
– Trường hợp 1:

Ta có ∠A + ∠C  = 180^o => ∠C = 180^o  – ∠A= 180^o – 80^o = 100^o

∠B + ∠D  = 180^o => ∠D = 180^o  – ∠B= 180^o – 70^o = 110^o

Vậy điểm ∠C =100^o , ∠D = 110^o

– Trường hợp 2:

∠A + ∠C  = 180^o => ∠A = 180^o   – ∠C = 180^o – 105^o = 75^o

∠B + ∠D  = 180^o => ∠B = 180^o  – ∠D= 180^o – 75^o = 105^o

– Trường hợp 3:

∠A + ∠C  = 180^o => ∠C = 180^o   – ∠A = 180^o – 60^o = 120^o

∠B + ∠D  = 180^o => Chẳng hạn chọn ∠B = 70^o  ; ∠D= 110^o

– Trường hợp 4: ∠D =  180^o  – ∠B= 180^o – 40^o = 140^o

Còn lại ∠A + ∠C  = 180^o Chẳng hạn chọn ∠A =  100^o ,∠B = 80^o

–   Trường hợp 5: ∠A = 180^o  – ∠C = 180^o – 74^o = 106^o

∠B = 180^o  – ∠D  = 180^o – 65^o = 115^o

–  Trường hợp 6: ∠C = 180^o  – ∠A = 180^o – 95^o = 85^o

∠CB= 180^o  – ∠D = 180^o – 98^o = 82^o

Vậy điền vào ô trống ta được bảng sau:

Bài 54. Tứ giác ABCD có ∠ABC + ∠ADC = 180^o. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.

Giải.

Ta có Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối diện bằng 180^o  (∠ABC + ∠ADC = 180^o)nên nội tiếp đường tròn tâm O, ta có

⇒ OA = OB = OC = OD = bán kính (O)

⇒  O thuộc các đường trung trực của AC, BD, AB

Vậy các đường đường trung trực của AB, BD, AB cùng đi qua O.

Bài 55 trang 89. Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết ∠DAB = 80^o, ∠DAM = 30^o, ∠BMC = 70^o.

Hãy tính số đo các góc ∠MAB, ∠BCM, ∠AMB, ∠DMC, ∠AMD, ∠MCD
và ∠BCD.

Giải.

Ta có: ∠MAB=∠DAB – ∠DAM = 80^o – 30^o = 50^o  (1)

– ∆MBC là tam giác cân (MB= MC) nên ∠BCM  =( 180^o – 70^o )/2 = 55^o  (2)

– ∆MAB là tam giác cân (MA=MB) nên ∠MAB = 50^o (theo (1))

Vậy ∠AMB =  180^o – 2. 50^o = 80^o 

∠BAD =1/2 sđBCD (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn)

=> sđBCD = 2 ∠BAD =  2. 80^o = 160^o 

Mà sđBC = ∠BMC = 70^o  (số đo ở tâm bằng số đo cung bị chắn)

Vậy cung DC = 160^o – 70^o = 90^o  (vì C nằm trên cung nhỏ BD)

Suy ra ∠DMC = 90^{o                     (4)}

∆MAD là tam giác cân (MA= MD)

Suy ra ∠AMD = 180^o – 2.30^o = 120^o   (5)

∆MCD là tam giác vuông cân (MC= MD) và  ∠DMC = 90^o

Suy ra ∠MCD = ∠MDC = 45^o  (6)

∠BCD = 100^o   theo (2) và (6) và vì CM là tia nằm giữa hai tia CB, CD.

Bài 56. Xem hình 47. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD

Giải. Tam giác ABF có ∠A + ∠B + ∠F = 180⁰

⇔ ∠A = 180⁰ – ∠B – ∠F

=180⁰ – ∠B -20⁰ = 16⁰ – ∠B (1)

Tam giác ADE có  ∠A + ∠D + ∠E = 1800

⇔ ∠A = 180⁰ – ∠D – ∠E = 180⁰ – ∠D – 40⁰ =140⁰ -∠D (2)

Công (1) và (2) ta có 2∠A = 1600 – ∠B + 140⁰ – ∠D = 300⁰ – (∠B +∠D)

Mà (∠B +∠D) = 180⁰ nên 2∠A =300⁰ – 180⁰ = 1200 ⇔ ∠A =60⁰

Từ (1) ⇒ ∠B = 160⁰ – ∠A = 160⁰ – 60⁰ = 100⁰

Từ (2) ⇒ ∠D = 140⁰ –  ∠A = 140⁰ – 60⁰ = 80⁰

Ngoài ra ∠A + ∠C = 180⁰ nên ∠C = 180⁰ – ∠A = 180⁰ – 60⁰ = 120⁰

Bài 57 trang 89 Toán 9. Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được một đường tròn:

Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân ? Vì sao?

Giải: Hình bình hành nói chung không nội tiếp được đường tròn vì tổng hai góc đối diện không bằng 180^o.Trường hợp riêng của hình bình hành là hình chữ nhật (hay hình vuông) thì nội tiếp đường tròn vì tổng hai góc đối diện là 90^o  + 90^o = 180^o

Hình thang nói chung, hình thang vuông không nội tiếp được đường tròn.

Hình thang cân ABCD (BC= AD) có hai góc ở mỗi đáy bằng nhau ∠A = ∠B, ∠C = ∠D; mà ∠A + ∠D = 180^o  (hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD với AB// CD),suy ra ∠A + ∠C = 180^o . Vậy hình thang cân luôn có tổng hai góc đối diện bằng 180^o nên nội tiếp được đường tròn.

Bài 58 trang 90 toán 9 hình tập 2. Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và ∠DCB =1/2∠ACB.

a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C.

Đáp án:

a) Theo giả thiết, ∠DCB = 1/2 ∠ACB  = 1/2. .60^o = 30^o

∠ACD = ∠ACB + ∠BCD (tia CB nằm giữa hai tia CA, CD)

=> ∠ACD = 60^o + 30^o = 90^o  (1)

Do DB = CD nên ∆BDC cân => ∠DBC = ∠DCB =  30^o

Từ đó ∠ABD = 60^o + 30^o = 90^o  (2)

Từ (1) và (2) có ∠ACD + ∠ABD = 180^o nên tứ giác ABDC nội tiếp được.

b) Vì ∠ABD  = 90^o nên ∠ABD là góc nội tiếp chăn nửa đường tròn đường kính AD, tâm O là trung điểm của AD.
Tương tự ∠ACD = 90^o, nên ∠ACD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD.
Vậy tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD với tâm O là trung điểm của AD.

Bài 59. Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD

Do tứ giác ABCP nội tiếp nên ta có: ∠BAP + ∠BCP = 180^o        (1)

Ta lại có: ∠ABC + ∠BCP =  180^o         (2) (hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến CB và AB // CD)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠BAP  = ∠ABC Vậy ABCP là hình thang cân, suy ra AP = BC                 (3)

nhưng BC = AD (hai cạnh đối đỉnh của hình bình hành)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra AP = AD.

Bài 60. Xem hình 48. Chứng minh QR // ST.

Giải. Ta có tứ giác ISTM nội tiếp đường tròn nên: ∠S₁ + ∠M = 180^o

Mà ∠M₁ + ∠M₃ = 180^o  (kề bù)

nên suy ra ∠S₁ = ∠M₃     (1)

Tương tự từ các tứ giác nội tiếp IMPN và INQS ta được

∠M₃ = ∠N₄    (2)

∠N₄ = ∠R₂    (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra do đó QR // ST.