Giải bài 52,53,54 ,55,56,57 trang 79,80 SGK Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường trung trực của tam…

Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 52 trang 79; Bài 53,54,55,56,57 trang 80 SGK Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường trung trực của tam giác .

A. Tóm tắt lý thuyết bài: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

1. Đường trung trực của tam giác

Trong một tam giác, đường trung trực cảu một cạnh gọi là một đường trung trực của tam giác đó

Mỗi tam giác có ba đường trung trực

Định lí 1: 

Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.

GT: ∆ABC cân tại A

AM là đường trung trực của cạnh BC

KL: MB = MC

2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Định lí 2:

Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó

GT: ∆ABC

a là đường trung trực của BC

b là đường trung trực của AC

c là đường trrung trực của AB

a, b, c cắt nhau tai O

KL: O nằm trên đường trung trực của BC

OA = OB = OC

B. Hướng dẫn giải bài tập SGK trang 79,80 Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 52 trang 79 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Chứng  minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân.

Hướng dẫn giải bài 52:

Xét tam giác ABC với AH là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực nên

AH ⊥ BC và HB = HC

Xét hai tam giác vuông HAB và HAC có:

HB = HC

 = 90⁰

AH: cạnh chung

Nên ∆HAB = ∆HAC => AB = AC

Vậy ∆ABC cân tại A

Bài 53 trang 80 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Ba gia đình quyết định đào chung một cái giếng. Phải chọn vị trí của giếng ở  đâu để các khoảng cách từ giếng đến các nhà bằng nhau?

Hướng dẫn giải bài 53:

Vì điểm đào giếng cách  ba ngôi nhà (ba ngôi nhà không cùng nằm trên một đường thẳng) nên điểm đó chính là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh trong tam giác có đỉnh là ba ngôi nhà.

Bài 54 trang 80 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Vẽ đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) ∠A, ∠B, ∠C đều nhọn

b) ∠A = 90⁰

c) ∠A > 90⁰

Hướng dẫn giải bài 54:

Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Để vẽ đường tròn ngoại tiếp ta cần xác định tâm của đường tròn đó. Muốn xác định tâm ta vẽ hai đường trung trực và giao điểm hai đường trung trực ( cũng là giao điểm của ba trung trực cần tìm)

Nhận xét:

– Nếu tam giác có ba góc đều nhọn thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trong tam giác.

– Nếu tam giác có góc vuông thì tâm đường tròn nằm trên cạnh huyền ( tâm là trung điểm của cạnh huyền)

– Nếu tam giác có góc tù thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ngoài tam giác.

Bài 55 trang 80 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Cho hình bên:

Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh  ∠ADB +  ∠ADC = 180⁰

Hướng dẫn giải bài 55:

Từ hình vẽ ta có:

DK là trung trực của Ac, DI là đường trung trực của AB. Do đó ∆ADK = ∆CDK (c.c.c)

=> ∠ADK = ∠ CDK

hay DK là phân giác ∠ ADC

=> ∠ ADK = 1/2 ∠ ADC

∆ADI = ∆BDI (c.c.c)

=> ∠ ADI = ∠ BDI

=> DI là phân giác ∠ ADB

=> ∠ ADI = 1/2 ∠ ADB

Vì AC // DI ( cùng vuông góc với AB) mà DK ⊥ AC

=> DK ⊥ DI

hay ∠ ADK + ∠ADI = 90º

Do đó  1/2 ∠ADC + 1/2 ∠ADB = 90⁰

=> ∠ADC + ∠ADB  =  180⁰

=> ∠BDC = 180º => ∠BDC là góc bẹt nên ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Bài 56 trang 80 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Sử dụng bài 55 để chứng minh rằng: Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó.

Từ đó hãy tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông theo độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông.

Hướng dẫn giải bài 56:

a) Giả sử ∆ABC vuông góc tại A. Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh góc vuông AB, AC cắt nhau tại M. Ta chứng minh M là trung điểm của BC.

Vì M là giao điểm hai đường trung trực d₁, d₂

của AB, AC mà AB ⊥ AC nên B, M, C thẳng hàng (bài tập 55)

Vì MA = MB (M thuộc đường trung trực của AB)

MA = MC (M thuộc đường trung trực của AC)

=> MB = MC

Do B, M, C thẳng hàng và M cách đều BC nên M là trung điểm của BC

b) M là trung điểm Bc => MB = 1/2 BC

mà AM = MB nên MA = 1/2 BC

Vậy độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng một nửa độ dài cạnh huyền.

Bài 57 trang 80 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Có một chi tiết máy ( mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này.

Hướng dẫn giải bài 57:

Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài, suy ra  ∆ABC có đường tròn ngoại tiếp chính là đường viền ngoài. Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp chính là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC nên bán kính là độ dài đoạn thẳng từ giao điểm O đến A.

———————-

 Giải bài 58,59,60 ,61,62 trang 83 SGK Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường cao của tam giác