Giải bài 34, 35, 36 trang 35 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài 34 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) (y = {{x - 2} over {3x + 2}})                                  b) (y = {{ - 2x - 2} over {x + 3}})
c) (y = x + 2 - {1 over {x - 3}})                     d) (y = {{{x^2} - 3x + 4} over {2x + 1}})
e) (y = {{x + 2} over {{x^2} - 1}})                                   f) (y = {x over {{x^3} + 1}})

Gỉải

a) TXĐ: (D = mathbb Rackslash left{ { - {2 over 3}} ight})
Vì (mathop {lim }limits_{x o  + infty } y = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{x + 2} over {3x + 2}} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{1 - {2 over x}} over {3 + {2 over x}}} = {1 over 3}) và (mathop {lim }limits_{x o  - infty } y = {1 over 3}) nên đường thẳng (y = {1 over 3}) là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - {2 over 3}} ight)}^ + }} y =  - infty ) (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - {2 over 3}} ight)}^ - }} y =  + infty ); nên đường thẳng (x =  - {2 over 3}) là tiệm cận đứng của đồ thị.
b) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { - 3} ight})
Vì (mathop {lim }limits_{x o  + infty } y = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ - 2 - {2 over x}} over {1 + {3 over x}}} =  - 2) và (mathop {lim }limits_{x o  - infty } y =  - 2) nên đường thẳng (y =  - 2) là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 3} ight)}^ + }} y =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 3} ight)}^ - }} y =  - infty ) nên đường thẳng (x =  - 3) là tiệm cận đứng của đồ thị.
c) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ 3 ight})
Vì (mathop {lim }limits_{x o {3^ + }} y =  - infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {3^ - }} y =  + infty ) nên đường thẳng (x = 3) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có: (mathop {lim }limits_{x o  + infty } left[ {y - left( {x + 2} ight)} ight] = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ - 1} over {x - 3}} = 0) và (mathop {lim }limits_{x o  - infty } left[ {y - left( {x + 2} ight)} ight] = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{ - 1} over {x - 3}} = 0) nên đường thẳng (y = x + 2) là tiệm cận xiên của đồ thị.
d) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { - {1 over 2}} ight})
Vì (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - {1 over 2}} ight)}^ + }} y =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - {1 over 2}} ight)}^ - }} y =  - infty ) nên đường thẳng (x =  - {1 over 2}) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tiệm cận xiên có dạng (y = ax + b)

(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{{x^2} - 3x + 4} over {xleft( {2x + 1} ight)}} = {1 over 2} cr 
& b = mathop {lim }limits_{x o pm infty } left( {y - {x over 2}} ight) = mathop {lim }limits_{x o pm infty } left( {{{{x^2} - 3x + 4} over {2x + 1}} - {x over 2}} ight) cr&= mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{ - 7x + 8} over {2left( {2x + 1} ight)}} = - {7 over 4} cr} )

(mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ - }} y =  + infty )

Đường thẳng (y = {x over 2} - {7 over 4}) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x o  + infty ) và (x o  - infty )).
Cách khác: 
Ta có: (y = {1 over 2}.{{{x^2} - 3x + 4} over {x + {1 over 2}}} = {1 over 2}left( {x - {7 over 2} + {{23} over {4left( {x + {1 over 2}} ight)}}} ight))

Vì (mathop {lim }limits_{x o  pm infty } left[ {y - left( {{x over 2} - {7 over 4}} ight)} ight] = mathop {lim }limits_{x o  pm infty } {{23} over {8left( {x + {1 over 2}} ight)}} = 0) nên đường thẳng (y = {x over 2} - {7 over 4}) là tiệm cận xiên của đồ thị.
e) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { - 1;1} ight})
* Vì (mathop {lim }limits_{x o  pm infty } y = 0) nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
* (mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {{x + 2} over {left( {x + 1} ight)left( {x - 1} ight)}} =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {1^ - }} y = mathop {lim }limits_{x o {1^ - }} {{x + 2} over {left( {x + 1} ight)left( {x - 1} ight)}} =  - infty ) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
* (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ + }} {{x + 2} over {left( {x + 1} ight)left( {x - 1} ight)}} =  - infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ - }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ - }} {{x + 2} over {left( {x + 1} ight)left( {x - 1} ight)}} =  + infty ) nên đường thẳng (x =  - 1) là tiệm cận đứng của đồ thị.
f) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { - 1} ight})
* Vì (mathop {lim }limits_{x o  pm infty } y = 0) nên (y = 0) là tiệm cận ngang
* (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ + }} y =  - infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ - }} y =  + infty ) nên (x = -1) là tiệm cận đứng.

Bài 35 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
(a),y = {{2x - 1} over {{x^2}}} + x - 3,;)             (b),,{{{x^3} + 2} over {{x^2} - 2x}})

(c),,{{{x^3} + x + 1} over {{x^2} - 1,}},,;)                             (d),,{{{x^2} + x + 1} over { - 5{x^2} - 2x + 3}})

Giải

a) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ 0 ight})
* Vì (mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} y =  - infty ) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* (mathop {lim }limits_{x o  pm infty } left[ {y - left( {x - 3} ight)} ight] = mathop {lim }limits_{x o  pm infty } {{2x - 1} over {{x^2}}})

(= mathop {lim }limits_{x o  pm infty } left( {{2 over x} - {1 over {{x^2}}}} ight) = 0) nên y = x – 3 là tiệm cận xiên.
b) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ {0;2} ight})
* (mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x - 2} ight)}} =  - infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} y = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x - 2} ight)}} =  + infty ) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* (mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x - 2} ight)}} =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {2^ - }} y = mathop {lim }limits_{x o {2^ - }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x - 2} ight)}} =  - infty ) nên (x = 2) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng (y = ax +b)

(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{{x^3} + 2} over {{x^3} - 2{x^2}}} cr&= mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{1 + {2 over {{x^3}}}} over {1 - {2 over x}}} = 1 cr 
& b = mathop {lim }limits_{x o pm infty } left( {y - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o pm infty } left( {{{{x^3} + 2} over {{x^2} - 2x}} - x} ight) cr&= mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{2{x^2} + 2} over {{x^2} - 2x}} = 2 cr} )

Đường thẳng (y = x + 2) là tiệm cận xiên của đồ thị.
c) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { - 1;1} ight})
* (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ + }} {{{x^3} + x + 1} over {left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}} =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ - }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ - }} {{{x^3} + x + 1} over {left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}} =  - infty ) nên (x = -1) là tiệm cận đứng .
(mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {{{x^3} + x + 1} over {left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}} =  - infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {1^ - }} y =  - infty ) nên (x = 1) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng (y = ax + b)

(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{{x^3} + x + 1} over {xleft( {{x^2} - 1} ight)}} cr&= mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{1 + {1 over {{x^2}}} + {1 over {{x^3}}}} over {1 - {1 over {{x^2}}}}} = 1 cr 
& b = mathop {lim }limits_{x o pm infty } left( {y - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o pm infty } left( {{{{x^3} + x + 1} over {{x^2} - 1}}} ight) cr&= mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{2x + 1} over {{x^2} - 1}} = 0 cr} )

( Rightarrow y = x) là tiệm cận xiên.
d) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { - 1;{3 over 5}} ight})
* Vì (mathop {lim }limits_{x o  pm infty } y = mathop {lim }limits_{x o  pm infty } {{1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} over { - 5 - {2 over x} + {3 over {{x^2}}}}} =  - {1 over 5}) nên (y =  - {1 over 5}) là tiệm cận ngang.
* (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x + 1} ight)left( {3 - 5x} ight)}} =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 1} ight)}^ - }} y =  - infty ) nên (x = -1) là tiệm cận đứng.
(mathop {lim }limits_{x o {{left( {{3 over 5}} ight)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( {{3 over 5}} ight)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x + 1} ight)left( {3 - 5x} ight)}} =  - infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( {{3 over 5}} ight)}^ - }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( {{3 over 5}} ight)}^ - }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x + 1} ight)left( {3 - 5x} ight)}} =  + infty ) nên (x = {3 over 5}) là tiệm cận đứng.

Bài 36 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

(a),,y = sqrt {{x^2} - 1} ,,);        b) (y = 2x + sqrt {{x^2} - 1} )
c) (y = x + sqrt {{x^2} + 1} ) d) (y = sqrt {{x^2} + x + 1} ).

Gỉải

a) TXĐ: (D =mathbb Rackslash ( - infty ;1{ m{]}} cup { m{[}}1; + infty ))
* Tiệm cận xiên khi (x o  + infty )
Ta có: (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{sqrt {{x^2} - 1} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{xsqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} } over x} )

(= mathop {lim }limits_{x o  + infty } sqrt {1 - {1 over {{x^2}}}}  = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {{x^2} - 1}  - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = x) là tiệm cận xiên của đồ thị khi (x o  + infty ).
* Tiệm cận xiên khi (x o  - infty )
(a = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{sqrt {{x^2} - 1} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{ - xsqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} } over x})

(=  - mathop {lim }limits_{x o  - infty } sqrt {1 - {1 over {{x^2}}}}  =  - 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {sqrt {{x^2} - 1}  - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = -x) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x o  - infty )).
b) TXĐ: (D =mathbb Rackslash ( - infty ;1{ m{]}} cup { m{[}}1; + infty ))
* Tiệm cận xiên khi (x o  + infty )
Ta có: (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {2 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} ight))

(= mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {2 + sqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} } ight) = 3)
(b = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {y - 3x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {{x^2} - 1}  - x} ight))

(= mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = 3x) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x o  + infty )).
* Tiệm cận xiên khi (x o  - infty )
(a = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {2 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} ight))

(= mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {2 - sqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} } ight) = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {y - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {sqrt {{x^2} - 1}  + x} ight) )

(= mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1}  - x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = x) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x o  - infty ))
c) TXĐ: (D =mathbb R)
* Tiệm cận xiên khi (x o  + infty )

(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x o + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {1 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} ight) cr&= mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {1 + sqrt {1 + {1 over {{x^2}}}} } ight) = 2 cr 
& b = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {y - 2x} ight) = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {sqrt {{x^2} + 1} - x} ight)cr& = mathop {lim }limits_{x o + infty } {1 over {sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 cr} )

Đường thẳng (y = 2x) là tiệm cận xiên (khi (x o  + infty ))
* Tiệm cận khi (x o  - infty )
(mathop {lim }limits_{x o  - infty } y = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {x + sqrt {{x^2} - 1} } ight) )

(= mathop {lim }limits_{x o  - infty } {1 over {x - sqrt {{x^2} - 1} }} = 0)
Đường thẳng (y = 0) là tiệm cận ngang (khi (x o  - infty ))
d) TXĐ: (D =mathbb R)
* (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}}  = 1)

(eqalign{
& b = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {y - x} ight) = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 1} - x} ight) cr 
&= mathop {lim }limits_{x o + infty } {{x + 1} over {sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} cr&= mathop {lim }limits_{x o + infty } {{1 + {1 over x}} over {sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} }+1} = {1 over 2} cr} )

Đường thẳng (y = x + {1 over 2}) là tiệm cận xiên (khi (x o  + infty ))
* (a = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{sqrt {{x^2} + x + 1} } over x} )

(= mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{ - xsqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  - infty } -sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}}  =  - 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {y + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  - infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 1}  + x} ight) )

(= mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{x + 1} over {sqrt {{x^2} + x + 1}  - x}} = mathop {lim }limits_{x o  - infty } {{1 + {1 over x}} over { - sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} }-1} =  - {1 over 2})
Đường thẳng (y =  - x - {1 over 2}) là tiệm cận xiên (khi (x o  - infty ))

Zaidap.com