Giải bài 11, 12, 13 trang 16, 17 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài 11 trang 16 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (fleft( x ight) = {1 over 3}{x^3} + 2{x^2} + 3x - 1);

b) (fleft( x ight) = {1 over 3}{x^3} - {x^2} + 2x - 10)

c) (fleft( x ight) = x + {1 over x});

d) (fleft( x ight) = left| x ight|left( {x + 2} ight);)

e) (fleft( x ight) = {{{x^5}} over 5} - {{{x^3}} over 3} + 2);

f) (fleft( x ight) = {{{x^2} - 3x + 3} over {x - 1}})

Giải

a) TXĐ: (D=mathbb R)

(f'left( x ight) = {x^2} + 4x + 3;,f'left( x ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = - 1 hfill cr 
x = - 3 hfill cr} ight.;)

(fleft( { - 1} ight) = - {7 over 3};,fleft( { - 3} ight) = - 1)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x =  - 3), giá trị cực đại của hàm số là (fleft( { - 3} ight) =  - 1)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x =  - 1), giá trị cực tiểu của hàm số là (fleft( { - 1} ight) =  - {7 over 3})

b) TXĐ: (D=mathbb R)

(f'left( x ight) = {x^2} - 2x + 2 > 0) với mọi (x inmathbb R) (vì (a > 0,Delta ' < 0))

Hàm số đồng biến trên (mathbb R) , không có cực trị.
c) TXĐ: (D = mathbb Rackslash left{ 0 ight})

(f'left( x ight) = 1 - {1 over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} over {{x^2}}};f'left( x ight) = 0)

(Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1,,,,;fleft( 1 ight) = 2 hfill cr 
x = - 1;fleft( { - 1} ight) = - 2 hfill cr} ight.)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=-1), giá trị cực đại (fleft( { - 1} ight) =  - 2). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=1), giá trị cực tiểu (fleft( 1 ight) = 2).

d) TXĐ: (D=mathbb R) Hàm số liên tục trên (mathbb R)

(fleft( x ight) = left{ matrix{
xleft( {x + 2} ight),,,,,,,x ge 0 hfill cr 
- xleft( {x + 2} ight),,,,,x < 0, hfill cr} ight.)

Với (x > 0:,f'left( x ight) = 2x + 2 > 0) với mọi (x>0)

Với (x < 0:,f'left( x ight) =  - 2x - 2)

(,f'left( x ight) = 0) ( Leftrightarrow x =  - 1); (fleft( { - 1} ight) = 1)

Hàm số đạt cực đại tại (x=-1), giá trị cực đại (fleft( { - 1} ight) = 1). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=0), giá trị cực tiểu (fleft( 0 ight) = 0)

e) TXĐ: (D=mathbb R)

(f'left( x ight) = {x^4} - {x^2} = {x^2}left( {{x^2} - 1} ight))

(f'left( x ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0;fleft( 0 ight) = 2 hfill cr 
x = - 1;fleft( { - 1} ight) = {{32} over {15}} hfill cr 
x = 1;fleft( 1 ight) = {{28} over {15}} hfill cr} ight.)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=-1), giá trị cực đại (fleft( { - 1} ight) = {{32} over {15}})

Hàm số đạt cực tiểu tại (x=1), giá trị cực tiểu (fleft( 1 ight) = {{28} over {15}})

f) TXĐ: (D = {f{R}}ackslash left{ 1 ight})

(y'left( x ight) = {{left( {2x - 3} ight)left( {x - 1} ight) - left( {{x^2} - 3x + 3} ight)} over {{{left( {x - 1} ight)}^2}}} = {{{x^2} - 2x} over {{{left( {x - 1} ight)}^2}}})

(f'left( x ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0;fleft( 0 ight) = - 3 hfill cr 
x = 2;fleft( 2 ight) = 1 hfill cr} ight.)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=0), giá trị cực đại (fleft( 0 ight) =  - 3)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=2), giá trị cực tiểu (fleft( 2 ight) = 1)

Bài 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (y = xsqrt {4 - {x^2}} )              b) (y = sqrt {8 - {x^2}} )

c) (y = x - sin 2x + 2)      d) (y = 3 - 2cos x - cos 2x)

Giải

a) Tập xác định: (D = left[ { - 2;2} ight])

(y' = sqrt {4 - {x^2}}  + x.{{ - x} over {sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - {x^2} - {x^2}} over {sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - 2{x^2}} over {sqrt {4 - {x^2}} }})

(y' = 0 Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 Leftrightarrow x =  pm sqrt 2 )

(yleft( { - sqrt 2 } ight) =  - 2;yleft( {sqrt 2 } ight) = 2)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x =  - sqrt 2 ); giá trị cực tiểu (yleft( { - sqrt 2 } ight) =  - 2)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = sqrt 2 ); giá trị cực đại (yleft( {sqrt 2 } ight) = 2)

b) TXĐ: (D = left[ { - 2sqrt 2 ;2sqrt 2 } ight])

(y' = {{ - x} over {sqrt {8 - {x^2}} }};,y' = 0 Leftrightarrow x = 0;,yleft( 0 ight) = 2sqrt 2 )

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=0), giá trị cực đại (yleft( 0 ight) = 2sqrt 2 )

c) Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: (D=mathbb R)

(,y' = 1 - 2cos 2x;)

(y' = 0 Leftrightarrow cos 2x = {1 over 2} = cos {pi  over 3} )

             (Leftrightarrow x =  pm {pi  over 6} + kpi ,k in {mathbb {Z}})

(y' = 4sin 2x)

* Ta có: (y'left( {{pi  over 6} + kpi } ight) = 4sin left( { - {pi  over 3}} ight) =  - 2sqrt 3  < 0)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm (x =  - {pi  over 6} + kpi ,k in {mathbb{Z}}); giá trị cực đại

(yleft( { - {pi  over 6} + kpi } ight) =  - {pi  over 6} + kpi  + {{sqrt 3 } over 2} + 2)

 (y'left( {{pi  over 6} + kpi } ight) = 4sin left( {{pi  over 3}} ight) = 2sqrt 3  > 0).

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm (x = {pi  over 6} + kpi ,k in {mathbb{Z}}); giá trị cực tiểu:

(yleft( {{pi  over 6} + kpi } ight) = {pi  over 6} + kpi  - {{sqrt 3 } over 2} + 2)

d) Áp dụng quy tắc 2.

(,y' = 2sin x + 2sin 2x = 2sin xleft( {1 + 2cos x} ight);)

(y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
sin x = 0 hfill cr 
cos x = - {1 over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = kpi hfill cr 
x = pm {{2pi } over 3} + 2kpi hfill cr} ight.)

(y' = 2cos x + 4cos 2x.)
 (y'left( {kpi } ight) = 2cos kpi  + 4cos 2kpi  )

                (= 2cos kpi  + 4 > 0) với mọi (k in {mathbb{Z}})

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm (x = kpi ), giá trị cực tiểu:

(yleft( {kpi } ight) = 3 - 2cos kpi  - cos 2kpi  = 2 - 2cos kpi )

 (y'left( { pm {{2pi } over 3} + k2pi } ight) = 2cos {{2pi } over 3} + 4cos {{4pi } over 3} )

                                 (= 6cos {{2pi } over 3} =  - 3 < 0.)

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm (x =  pm {{2pi } over 3} + k2pi ,k in {mathbb{Z}}); giá trị cực đại:

(yleft( { pm {{2pi } over 3} + k2pi } ight) = 3 - 2cos {{2pi } over 3} - cos {{4pi } over 3} = {9 over 2}).

Bài 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các hệ số (a, b, c, d) của hàm số:  (fleft( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d) sao cho hàm số (f) đạt cực tiểu tại điểm (x = 0,fleft( 0 ight) = 0) và đạt cực đại tại điểm (x = 1,fleft( 1 ight) = 1.)

Giải

Ta có: (f'left( x ight) = 3a{x^2} + 2bx + c)

(f) đạt cực tiểu tại điểm (x=0) nên (f'left( 0 ight) = 0 Rightarrow c = 0)

(fleft( 0 ight) = 0 Rightarrow d = 0). Vậy (fleft( x ight) = a{x^3} + b{x^2})

(f) đạt cực đại tại điểm (x=1) nên (f'left( 1 ight) = 0 Rightarrow 3a + 2b = 0)

(fleft( 1 ight) = 1 Rightarrow a + b = 1)

Ta có hệ phương trình:

(left{ matrix{
3a + 2b = 0 hfill cr 
a + b = 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
a = - 2 hfill cr 
b = 3 hfill cr} ight.)

Thử lại với (a=-2, b=3, c=d=0) ta được:

(fleft( x ight) =  - 2{x^3} + 3{x^2};,,,,,,,f'left( x ight) =  - 6{x^2} + 6x;)

(f'left( x ight) =  - 12x + 6)

(f'left( 0 ight) = 6 > 0) : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=0); (fleft( 0 ight) = 0;f'left( 1 ight) =  - 6 < 0)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = 1;fleft( 1 ight) = 1)

Vậy (a =  - 2;b = 3;c = d = 0).

Zaidap.com