Giải bài 3 trang 82 sgk Đại số 11

Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a.3ⁿ > 3n + 1

b.2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Lời giải:

a.3n > 3n + 1 (1)

+ Với n = 2 thì (1) <=> 8 > 7

Luôn luôn đúng khi x = 2

+ giả thiết mệnh đề (1) đúng khi

n = k ≥ 2, nghĩa là 3^k > 3k + 1

Ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 nghĩa là chứng minh:

3^k+1 = 3.3^k > 3(3k + 1) (theo giả thiết)

3(3k + 1) = 9k + 3 = 3(k +1) + 6k > 3(k + 1) (vì k > 2)

Vậy 3^k+1 >3(k + 1) + 1

Mệnh đề đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ≥ 2

b. 2^k+1 > 2n + 3

+Với n = 2, ta có: 2³ = 8 > 2.2 + 3 = 7

Vậy mệnh đề đúng khi x = 2.

+giả thiết mệnh đề đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2^k+1 > 2k + 3 (2)

+ Ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n = k + 1, nghĩa là chứng minh:

2^[(k+1)+1] > 2(k + 1) + 3 hay 2^k+2 > 2k + 5

Nhân hai vế của (2) cho 2, ta được:

2^k+1.2 = 2^k+1 > 2(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + (2k + 6) (3)

Mà k ≥ 2 => 2k + 6 = 2.2 + 6 = 10 > 5

(3) => 2^k+1 > 2k + 5 (2)

Mệnh đề đúng với n = k + 1 nên cũng đúng ∀ n ∈ N*.

Các bài giải bài tập Đại số 11 Bài 1 Chương 3