Giải bài 1, 2, 3 trang 7, 8 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài 1 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) (y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1)        b) (y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1)

c) (y = x + {3 over x})                      d) (y = x - {2 over x})

e) (y = {x^4} - 2{x^2} - 5)          f) (y = sqrt {4 - {x^2}} )

Giải

a) Tập xác định: (D =mathbb R)

(eqalign{
& y' = 6{x^2} + 6x cr 
& y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0,,left( {y = 1} ight) hfill cr 
x = - 1,,left( {y = 2} ight) hfill cr} ight. cr} )

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { - infty ; - 1} ight)) và (left( {0; + infty } ight)) nghịch biến trên khoảng (left( { - 1;0} ight)).

b) Tập xác định: (D =mathbb R)

(eqalign{
& y' = 3{x^2} - 4x + 1 cr 
& y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1,,left( {y = 1} ight) hfill cr 
x = {1 over 3},,left( {y = {{31} over {27}}} ight) hfill cr} ight. cr} )

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { - infty ;{1 over 3}} ight)) và (,left( {1; + infty } ight)) , nghịch biến trên khoảng (,left( {{1 over 3};1} ight)).

c) Tập xác định: (D =mathbb Rackslash left{ 0 ight})

(eqalign{
& y' = 1 - {3 over {{x^2}}} = {{{x^2} - 3} over {{x^2}}} cr 
& y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = sqrt 3 ,,left( {y = 2sqrt 3 } ight) hfill cr 
x = - sqrt 3 ,,left( {y = - 2sqrt 3 } ight) hfill cr} ight. cr} )

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { - infty ; - sqrt 3 } ight)) và (,left( {sqrt 3 ; + infty } ight)) , nghịch biến trên khoảng (left( { - sqrt 3 ;0} ight)) và (,left( {0;sqrt 3 } ight)).

d) Tập xác định: (D = mathbb Rackslash left{ 0 ight})

(y' = 1 + {2 over {{x^2}}} > 0) với mọi (x e 0)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (,,left( { - infty ;0} ight)) và (left( {0; + infty } ight)).

e) Tập xác định: (D= mathbb R)

(y' = 4{x^3} - 4x = 4xleft( {{x^2} - 1} ight);y' = 0 )

( Leftrightarrow ,left[ matrix{
x = 0,,,,left( {y = - 5} ight) hfill cr 
x = pm 1,,,,left( {y = - 6} ight) hfill cr} ight.)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (,left( { - infty ; - 1} ight)) và (left( {0;1} ight)), đồng biến trên mỗi khoảng (left( { - 1;0} ight)) và (left( {1; + infty } ight)).

f) Hàm số xác định khi và chỉ khi (4 - {x^2} ge 0 Leftrightarrow  - 2 le x le 2)

Tập xác định: (D = left[ { - 2;2} ight])

(y' = {{ - 2x} over {2sqrt {4 - {x^2}} }} = {{ - x} over {sqrt {4 - {x^2}} }};y' = 0 Leftrightarrow )(x = 0,,,left( {y = 2} ight))

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (left( { - 2;0} ight)) và nghịch biến trên khoảng (left( {0;2} ight)) .

Bài 2 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Hàm số (y = {{x - 2} over {x + 2}}) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó;

b)Hàm số (y = {{ - {x^2} - 2x + 3} over {x + 1}}) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Giải

a) Tập xác định (D =mathbb Rackslash left{ { - 2} ight})

(y' = {{left| matrix{
1,,,, - 2 hfill cr 
1,,,,,,,,2 hfill cr} ight|} over {{{left( {x + 2} ight)}^2}}} = {4 over {{{left( {x + 2} ight)}^2}}} > 0) với mọi (x e  - 2)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { - infty ; - 2} ight)) và (left( { - 2; + infty } ight)).

b) Tập xác định (D =mathbb Rackslash left{ { - 1} ight})

(y' = {{left( { - 2x - 2} ight)left( {x + 1} ight) - left( { - {x^2} - 2x + 3} ight)} over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}} = {{ - {x^2} - 2x - 5} over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}} < 0) với mọi (x e  - 1).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (left( { - infty ; - 1} ight)) và (left( { - 1; + infty } ight)).

Bài 3 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên (mathbb R):

a) (fleft( x ight) = {x^3} - 6{x^2} + 17x + 4;) 

b) (fleft( x ight) = {x^3} + x - cos x - 4)

Giải

a) Tập xác định: (D =mathbb R)

(f'left( x ight) = 3{x^2} - 12x + 17 > 0) với mọi (x in mathbb R) (vì (a > 0,Delta ' < 0))

Hàm số đồng biến trên (mathbb R).

b) Tập xác định: (D =mathbb R)

(f'left( x ight) = 3{x^2} + 1 + sin x)

Vì (1 + sin x ge 0) và (3{x^2} ge 0) nên (f'left( x ight) ge 0) với mọi (x in mathbb R), với (x = 0) thì (1 + sin x = 1 > 0) nên (f'left( x ight) > 0,,,forall x in mathbb R) do đó hàm số đồng biến trên (mathbb R).

Zaidap.com