Giải bài 1, 2, 3 trang 23, 24 SGK Giải tích 12

Bài 1 trang 23 sgk giải tích 12

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

    a) (y{ m{ }} = { m{ }}{x^3}-{ m{ }}3{x^2}-{ m{ }}9x{ m{ }} + { m{ }}35) trên các đoạn ([-4; 4]) và ([0;5]) ;

    b) (y{ m{ }} = { m{ }}{x^4}-{ m{ }}3{x^2} + { m{ }}2) trên các đoạn ([0;3]) và ([2;5]);

    c) (y = {{2 - x} over {1 - x}}) trên các đoạn ([2;4]) và ([-3;-2]);

    d) (y = sqrt {5 - 4{ m{x}}}) trên đoạn ([-1;1]).

Giải

a) Xét (D = [-4; 4])

(y' = 3{{ m{x}}^2} - 6{ m{x}} - 9;y = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 3 in D hfill cr 
x = - 1 in D hfill cr} ight.) 

Ta có: (y(-4) = -41; y(4) = 15; y(-1) = 40; y(3) = 8)

Vậy (eqalign{
& mathop {max y}limits_{x in left[ { - 4;4} ight]} = 40 cr 
& mathop {min y}limits_{x in left[ { - 4;4} ight]} = - 41 cr})

Xét (D = [0; 5])

(y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 3 in D hfill cr 
x = - 1 otin D hfill cr} ight.)

Ta có (y(0) = 35; y(5) = 40; y(3) = 8)

Vậy (mathop {max y}limits_{left[ {0;5} ight]}  = 40;mathop {min y}limits_{left[ {0;5} ight]}  = 8)

b) (y' = 4{x^3} - 6x = 2xleft( {2{x^2} - 3} ight);y' = 0left[ matrix{x = 0 hfill cr x = sqrt {{3 over 2}} hfill cr x = - sqrt {{3 over 2}} hfill cr} ight.)

- Với (D = [0; 3]) thì (x =  - sqrt {{3 over 2}}   otin D) 

Ta có (yleft( 0 ight) = 2;yleft( 3 ight) = 56;yleft( {sqrt {{3 over 2}} } ight) =  - {1 over 4}) 

Vậy (mathop {min y}limits_{left[ {0;3} ight]}  =  - {1 over 4};mathop {max y}limits_{left[ {0;3} ight]}  = 56)

Với (D = [2; 5]) thì (x = 0;x =  pm sqrt {{3 over 2}}) đều không thuộc (D) nên (y(2) = 6; y(5) = 552).

Vậy (mathop {min y}limits_{left[ {2;5} ight]}  = 6;mathop {max y}limits_{left[ {2;5} ight]}  = 552) 

c)  (y = {{x - 2} over {x - 1}};y' = {1 over {{{left( {x - 1} ight)}^2}}} > 0;forall x e 1)

Với (D = [2; 4]: y(2) = 0); (yleft( 4 ight) = {2 over 3}). Vậy (mathop {min y}limits_{left[ {2;4} ight]}  = 0;mathop {max y}limits_{left[ {2;4} ight]}  = {2 over 3}) 

Với (D = [-3; -2]): (yleft( { - 3} ight) = {5 over 4};yleft( { - 2} ight) = {4 over 3}). Vậy (mathop {min }limits_{left[ { - 3; - 2} ight]} y = {5 over 4};mathop {max y}limits_{left[ { - 3;2} ight]}  = {4 over 3})

d)  

(eqalign{
& D = left[ { - 1;1} ight]:y' = {{ - 2} over {sqrt {5 - 4x} }} < 0,forall x in left[ { - 1;1} ight] cr 
& yleft( { - 1} ight) = 3;yleft( 1 ight) = 1 cr} )

Vậy (mathop {min y}limits_{left[ { - 1;1} ight]}  = 1;mathop {max y}limits_{left[ { - 1;1} ight]}  = 3)

Bài 2 trang 24 sách sgk giải tích 12

Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi (16 cm), hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Giải:

 Kí hiệu (x, y) thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ((0 < x, y < 16)). Khi đó (x + y = 8). Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có : (8 = x + y ≥2sqrt{xy}⇔ xy ≤ 16)

(Rightarrow xy =16 ⇔ x = y = 4). Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng (16 cm^2) khi (x = y = 4(cm)), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.

Bài 3 trang 24 sách sgk giải tích 12

Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích (48 m^2) , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Giải:

Kí hiệu (x, y) thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ((x, y > 0)). Khi đó (xy = 48). Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có : (x+ygeq 2sqrt{xy}=2sqrt{48}=8sqrt{3}.)

(x+y=8sqrt{3}.Leftrightarrow x=y=4sqrt{3}). Vậy chu vi hình chữ nhật nhỏ nhất bằng (2(x+y)=16sqrt{3}(m)) khi (x=y=4sqrt{3} (m)), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.

Zaidap.com