Giải bài 1, 2, 3 trang 9, 10 SGK Giải tích 12

Bài 1 trang 9 sách sgk giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) (y = 4 + 3x - x^2)  ;    b) (y ={1 over 3}x^3) + (3x^2-7x - 2) ;

c) (y = x^4) - (2x^2) +( 3) ;      d) (y = -x^3)+ (x^2) - (5).

Giải:

1. a) Tập xác định : (D =mathbb R);                            

(y' = 3 - 2x => y' = 0 ⇔ x =) ({3 over 2}).

       Bảng biến thiên :

 Hàm số đồng biến trên khoảng (left( { - infty ;{3 over 2}} ight)); nghịch biến trên khoảng (left( { {3 over 2}};+infty   ight))

 b) Tập xác định  (D=mathbb R);                         
(y'= x^2)+ (6x - 7 Rightarrow y' = 0 ⇔ x = 1, x = -7).

 Bảng biến thiên :

     Hàm số đồng biến trên các khoảng ((-∞ ; -7), (1 ; +∞)) ; nghịch biến trên các khoảng ((-7 ; 1)).

c) Tập xác định : (D=mathbb R).

         (y' = 4x^3)-(4x = 4x(x^2-1)) (Rightarrow y' = 0 ⇔ x = -1, x = 0, x = 1).

          Bảng biến thiên : 

   Hàm số đồng biến trên các khoảng ((-1 ; 0), (1 ; +∞)) ; nghịch biến trên các khoảng ((-∞ ; -1), (0 ; 1)).

d) Tập xác định :( D=mathbb R).

(y' = -3x^2) +( 2x Rightarrow y' = 0 ⇔ x = 0, x =) ({2 over 3}).

       Bảng biến thiên :

    Hàm số đồng biến trên khoảng (( 0 ; {2 over 3} )) ; nghịch biến trên các khoảng ((-∞ ; 0)), (({2 over 3}; +∞)).

Bài 2 trang 10 sách sgk giải tích 12

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a)  (y=frac{3x+1}{1-x}) ;                           b) (y=frac{x^{2}-2x}{1-x}) ;

c) (y=sqrt{x^{2}-x-20}) ;              d) (y=frac{2x}{x^{2}-9}).

Giải

a) Tập xác định : (D =mathbb R setminus){ 1 }.

(y'=frac{4}{(1-x)^{2}})> 0, (∀x eq 1).

 Hàm số đồng biến trên các khoảng : ((-∞ ; 1), (1 ; +∞)).

b) Tập xác định : (D =mathbb Rsetminus){ 1 }.

(y'=frac{-x^{2}+2x-2}{(1-x)^{2}}< 0), (∀x eq 1).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng: ( (-∞ ; 1), (1 ; +∞)).

c) Tập xác định :( D = (-∞ ; -4] ∪ [5 ; +∞)).

(y'=frac{2x-1}{2sqrt{x^{2}-x-20}}) (∀x ∈ (-∞ ; -4] ∪ [5 ; +∞)).

Với (x ∈ (-∞ ; -4)) thì (y’ < 0); với (x ∈ (5 ; +∞)) thì (y’ > 0). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ((-∞ ; -4)) và đồng biến trên khoảng ((5 ; +∞)).

d) Tập xác định : (D =mathbb Rsetminus ){ -3 ; 3 }.

(y'=frac{-2(x^{2}+9)}{left (x^{2}-9 ight )^{2}} < 0, ∀x eq ±3).

 Hàm số nghịch biến trên các khoảng : ((-∞ ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +∞)).

Bài 3 trang 10 sách sgk giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số (y={{1 - {x^2}} over {{{({x^2} + 1)}^2}}}) đồng biến trên khoảng ((-1 ; 1)) và nghịch biến trên các khoảng (( - infty ; - 1)) và ((1 ; +∞)).

Giải:

Tập xác định : (D=mathbb R).

(y' = {{1 - {x^2}} over {{{({x^2} + 1)}^2}}}) (Rightarrow y' = 0 ⇔ x=-1) hoặc (x=1).

         Bảng biến thiên :

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ((-1 ; 1)); nghịch biến trên các khoảng ((-∞ ; -1), (1 ; +∞)).

Zaidap.com