Giải bài 1,2,3,4,5, 6,7,8,9 trang 17 SGK hình học 10: Tích của véctơ với một số

Giải bài 1,2,3,4,5, 6,7,8,9 trang 17 SGK hình học 10: Tích của véctơ với một số

Tóm tắt kiến thức và Giải bài 1,2,3,4,5, 6,7,8,9 trang 17 SGK hình học 10: Tích của véctơ với một số – Chương 1 hình 10.

A. Tóm tăt kiến thức Tích của véctơ với một số

1. Định nghĩa 

Cho một số k #  0 và vec tơ ^→a  # ^→0

Tích của một số k với vec tơ ^→a  là một vec tơ , kí hiệu là k^→a
cùng hướng với ^→a  nếu k > 0, ngược hướng với ^→a   nếu k< 0 và có độ dài bằng |k|. |^→a |

2. Tính chất : Tích của một số với một vec tơ có tính chất:

a) Phân phối với phép cộng vec tơ: k (^→a + ^→b ) = k ^→a + k^→b

b) Phân phối với phép cộng các số: (h+k)^→a  = h^→a  +k ^→a

c) Kết hợp:    h(k^→a ) = (h.k)^→a .

d) 1. ^→a  =  ^→a      (-1)^→a = –^→a

3.Áp dụng

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có ^→MA + ^→MB = 2 ^→MI.

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thi mọi điểm M ta có

^→MA + ^→MB + ^→MC  = 3^→MG.

4. Điều kiện để hai vec tơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vec tơ cùng phương là có một số k để ^→a  = k^→b.

5. Phân tích một vec tơ thành haivec tơ không cùng phương

Cho hai vec tơ ^→a  và ^→b không cùng phương. Khi đó một vec tơ ^→x  đều hân tích được một cách duy nhất theo hai vec tơ ^→a , ^→b
nghĩa là có duy nhất một cặp số h, k sao cho ^→x =  h^→a + k^→b

B. Hướng dẫn giải bài tập Tích của véctơ với một số trang 17 Hình học lớp 10

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: ^→AB + ^→AC + ^→AD = 2^→AC.

Giải: ^→AB + ^→AC + ^→AD = ^→AB + ^→AD + ^→AC

ABCD là hình bình hành nên ^→AB + ^→AD = ^→AC(quy tắc hình bình hành của tổng)

⇒^→AB + ^→AC + ^→AD= ^→AC + ^→AC=2^→AC

Bài 2. Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ ^→AB, ^→BC, ^→AC theo hai vectơ sau ^→u = ^→AK, ^→v = ^→BM.

Vì M là trung điểm của BC nên  ^→BC = 2 ^→BM = 2 ^→v;
Vì K là trung điểm của CA nên  ^→CA = -2 ^→AK = -2 ^→u;
Ta có:  ^→CB = – ^→BC = -2 ^→v
nên  ^→AB =  ^→CB –  ^→CA = -2 ^→v – (-2 ^→u) =2( ^→u- ^→v).

Bài 3. Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho ^→MB = 3^→MC . Hãy phân tích vectơ  ^→AM  theo hai vectơ ^→u  = ^→AB , ^→v  = ^→AC.

Ta có: ^→AM = ^→AB + ^→BM = ^→AB + ^→BC + ^→CM
Vì ^→MB = 3^→MC nên ^→BM = 3^→CM

⇒ ^→BC = 2^→CM ⇒ ^→CM =1/2 ^→BC
Từ đó: ^→AM = ^→AB +3/2 ^→BC
Mặt khác ^→BC = ^→AC – ^→AB = ^→v – ^→u
Khi đó: ^→AM = ^→AB + 3/2 ^→BC = ^→u +3/2 (^→v – ^→u) = 3/2^→v -1/2 ^→u.

Bài 4. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC  và D là trung điểm của đạn AM. Chứng minh rằng:

a) 2^→DA + ^→DB + ^→DC = ^→0;

b) 2^→OA +^→OB+ ^→OC = 4^→OD, với O là điểm tùy ý.

Giải bài 4:

a) Ta có:
^→DB + ^→DC = (^→DM + ^→MB) + (^→DM + ^→MC) = 2 ^→DM + (^→MB + ^→MC) = 2 ^→DM + ^→0 = 2^→DM (vì ^→MB = –^→MC).
Mặt khác, do D là trung điểm của đoạn AM nên ^→DM = – ^→DA.
Khi đó: 2^→DA + ^→DB + ^→DC = 2^→DA + 2^→DM =2 (^→DA +^→DM) = ^→0

b) Ta có:
2^→OA + ^→OB + ^→OC = 4 ^→OD ⇔ 2(^→OA – ^→OD) + (^→OB –^→OD) + (^→OC – ^→OD) = 0
⇔ 2DA + DB + DC= 0 (luôn đúng theo câu a)
Vậy 2^→OA +^→OB+ ^→OC = 4^→OD, với O là điểm tùy ý.

Bài 5 trang 17 Hình 10. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:   2^→MN= ^→AC + ^→BD = ^→BC + ^→AD.

Ta có: ^→AC = ^→AM + ^→MN + ^→NC
^→BD = ^→BM + ^→MN + ^→ND
^→AC +^→BD = 2^→MN + (^→AM + ^→BM) + (^→NC +^→ND)
=2^→MN + ^→0 + ^→0 = 2^→MN
(Vì BM = – AM; ND = -NC)
Tương tự, từ: ^→BC = ^→BM + ^→MN + ^→NC
^→AD = ^→AM + ^→MN + ^→ND
Ta suy ra: ^→BC + ^→AD = 2 ^→MN. Vậy 2 ^→MN = ^→AC + ^→BD =^→ BC + ^→AD.

Bài 6. Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho  3^→KA + 2 ^→KB = ^→0

Giải: Ta có:  ^→KA + 2 ^→KB = ^→0  ⇒ 3^→KA = -2 ^→KB ⇒^→KA = – 2/3 ^→KB
Đẳng thức này chứng tỏ hai vec tơ  ^→KA ,^→KB là hai vec tơ ngược hướng, do đó K thuộc đoạn AB

Ta lại có: |^→KA| = – 2/3|^→KB| ⇒ KA = 2/3 KB

Vậy K là điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số 2/3.

Bài 7 trang 17. Cho tam giác ABC. Tìm điểm m sao cho ^→MA + ^→MB +2 ^→MC = ^→0

Giải: Gọi I là trung điểm của AB; J là trung điểm của CI
Ta có, theo quy tắc hình bình hành:  ^→MA + ^→MB = 2 ^→MI. Khi đó: ^→MA + ^→MB + 2^→MC = ^→0 ⇔2 ^→MI + 2 ^→MC = ^→0 ⇔2(^→MI + ^→MC) = ^→0;
Cũng theo quy tắc hình bình hàng: ^→MI + ^→MC = 2^→MJ
Do đó 2(^→MI + ^→MC) = 0 ⇔ 4^→MJ = 0 ⇔ ^→MJ = 0 ⇔ M=J
Vậy M là trung điểm của CI.

Bài 8. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Ta có: ^→MN =1/2 ^→AC
^→PQ =1/2 ^→CE
^→RS=1/2 ^→EA

⇒ ^→MN + ^→PQ + ^→RS = 1/2(^→AC + ^→CE + ^→EA) = 1/2 ^→AA = ^→0
⇒ ^→MN + ^→PQ + ^→RS = ^→0 (1)
Gọi G là trọng tâm tam giác MPR, ta có:
^→GM + ^→GP + ^→GR = ^→0 (2)
Mặt khác ^→MN = ^→MG +^→ GN
^→PQ =^→ PG + ^→GQ
^→RS = ^→RG + ^→GS
⇒ ^→MN +^→ PQ + ^→RS = (^→MG + ^→PG +^→ RG) + ^→GN + ^→GQ + ^→GS (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra: ^→GN + ^→GQ + ^→GS = ^→0
Vậy G là trọng tâm của tam giác NQS.

Bài 9 trang 17 Toán Hình 10. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng:^→MD + ^→ME + ^→MF = 3/2^→MO.

Từ M kẻ SP//BC; HR//CA và KQ//AB. Ta có:

+ ΔMKH đều: MD là đường trung tuyến ⇒ 2^→MD = ^→MK + ^→MH
+ ΔMPQ đều: ME là đường trung tuyến ⇒ 2^→ME = ^→MP + ^→MQ
+ ΔMRS đều: MF là đường trung tuyến ⇒ 2^→MF = ^→MR + ^→MS

⇒ 2(^→MD + ^→ME + ^→MF) = ^→MH + ^→MK + ^→MP + ^→MQ + ^→MR + ^→MS
=(^→MQ + ^→MR) + (^→MS + ^→MK) + (^→MH + ^→MP) = ^→MA + ^→MB + ^→MC
(Vì các tứ giác MHCP, MQAR, MSBK là các hình bình hành)
Vì O là trọng tâm của ΔABC nên ^→MA + ^→MB + ^→MC = 3 ^→MO
Từ đó: 2(^→MD + ^→ME + ^→MF ) = 3 ^→MO

⇒^→ MD +^→ ME + ^→MF = 3/2 ^→MO (đpcm)