Giải bài 1,2,3,4, 5,6,7,8 trang 26, 27 SGK hình học 10: Hệ trục tọa độ

Giải bài 1,2,3,4, 5,6,7,8 trang 26, 27 SGK hình học 10: Hệ trục tọa độ

Tóm tắt kiến thức và Giải bài 1,2,3,4 trang 26; Bài 5,6,7,8 trang 27 SGK hình học 10: Hệ trục tọa độ – Chương 1 Véctơ.

A. Tóm tắt kiến thức hệ trục tọa độ

1. Trục và độ dài đại số trên trục

a) Trục tọa độ: Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vec tơ đơn vị ^→e

b) Tọa độ của một điểm: Ứng với mỗi điểm M trên trục tọa độ thì có một số thực k sao cho ^→OM = k =  ^→e

Số k được gọi là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.

c) Độ dài đại số: Cho hai điểm A,B trên trục số, tồn tại duy nhất một số a sao cho ^→AB = a^→e

a được gọi là độ dài đại số của vectơ ^→AB, kí hiệu a = ^→AB.

Chú ý:

– Nếu vectơ ^→AB cùng hướng với vec tơ đơn vị ^→e  của trục thì ‾AB > 0, còn nếu ^→AB ngược hướng với vec tơ đơn vị ^→e thì ‾AB  < 0

– Nếu điểm A có tọa độ trên trục là a và điểm B có tọa độ là b thì ‾AB = b- a

2. Hệ trục tọa độ

a) Định nghĩa: Hệ trục tọa độ (0;^→i; ^→j) gồm hai trục (0; ^→i) và (0;^→j) vuông góc với nhau.

O là gốc tọa độ  (0; ^→i) là trục hoành

(0;^→j) là trục tung |^→i| = |^→j|= 1

Mặt phẳng được trang bị một hệ tọa độ được gọi là mặt phẳng tọa độ

b) Tọa độ vectơ ^→u = x^→i + y^→j  ⇔ u = (x; y)

hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng bằng nhau  ^→u = (x; y) ;    ^→u’ = (x’; y’)

^→u =^→u’   ⇔  x = x’

và y = y’

c) Tọa độ một điểm: Với mỗi điểm M trong mặt phẳng tọa độ thì tọa độ của vec tơ ^→OM được gọi là tọa độ của điểm M.^→OM = x^→i + y^→j  ⇔  M(x;y)

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và của vectơ:

cho hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B;y_B)

Ta có ^→AB = (x_A – x_B; y_A – y_B)

Tọa độ của vec tơ thì bằng tọa độ của điểm ngọn trừ đi tọa độ tương ứng của điểm đầu.

3. Tọa độ của tổng, hiệu ,tích của một số với một vectơ

Cho hai vec tơ  ^→u  = (u₁;u₂),   ^→v  = (v_1; v₂)

Ta có    ^→u  + ^→v = (u₁+ v₁; u₂ + v₂)

^→u  – ^→v = (u_1- v₁; u₂ – v₂)

k.^→u = = (ku₁; ku₂).

4. Tọa độ của trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác

a) Tọa độ trung điểm: Cho hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B;y_B) tọa độ của trung điểm I (x_I; y_I) được tính theo công thức:

x_I = 1/2 (x_A + x_B)              y_{I = 1/2 (}y_A + y_B).

b) Tọa độ trọng tâm: Tam giác ABC có 3 đỉnh  A(x_A; y_A), B(x_B;y_B); C(x_C; y_C). Trọng tâm G của tam giác có tọa độ:

x_G = 1/3 (x_A + x_B + x_C)              y_{G = 1/3 (}y_A + y_B  + y_C).

B. Hướng dẫn giải bài tập SGK Toán hình học lớp 10 trang 26,27

Bài 1.Trên trục (O, ^→e ) cho các điểm A, B, M có tọa độ lần lượt là -1, 2, 3, -2 .

a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục;

b) Tính độ dài đại số của ^→AB và ^→MN . Từ đó suy ra hai vectơ ^→AB và ^→MN ngược hướng.

Giải: a) Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục

b)Ta có: ‾AB = 2 – (-1) = 3; ‾MN = -2-3= -5. Từ đây ta có  ^→AB
= 3^→e, ^→MN= -5^→e  và suy ra ^→AB =-3/5^→MN => vectơ ^→AB và ^→MN  là hai vectơ ngược hướng.

Bài 2.Trong mặt phẳng tọa độ các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) ^→a = ( -3; 0) và ^→i = (1; 0) là hai vectơ ngược hướng;

b) ^→a = ( 3; 4) và ^→i = (-3; -4) là hai vectơ đối nhau;

c) ^→a = ( 5; 3) và ^→i = (3; 5) là hai vectơ đối nhau;

d) hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau

Giải: Các em hãy biểu diễn các véctơ trên mặt phẳng tọa độ

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai: Hai vectơ  ^→a = ( 5; 3) và ^→i = (3; 5) không cùng phương nên không thể đối nhau, do vậy câu c) sai

d) Đúng

Bài 3. Tìm tọa độ của các vec tơ sau:

a)  ^→a = 2^→i ;                 b) ^→b = -3^→j

c) ^→c = 3^→i – 4^→j           d) ^→d = 0,2^→i + √3^→j

Đáp án: a) Ta có :  ^→a = 2^→i = 2^→i + 0^→j ⇒ ^→a = = (2;0)

b) Ta có:  ^→b = -3^→j =  0^→i + (-3)^→j ⇒  ^→b = (0; -3)

c) Ta có: ^→c = 3^→i – 4^→j = 3^→i + (-4)^→j ⇒^→c = (3; -4)

d) ^→d = 0,2^→i + √3^→j =  0,2^→i +√3^→j ⇒^→d = (0,2; √3)

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Tọa độ của điểm A là tọa độ của vec tơ ^→OA;

b) Điểm A nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0;

c) Điểm A nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0;

d) Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Đáp án: a) Đúng: Theo định nghĩa tọa độ của một điểm

b) Đúng: Vì nếu A nằm trên trục hoành và có hoành độ a thì
^→OA = a^→i+ 0^→j ⇒ ^→OA = (a;0) ⇒ A =(a;0)

c) Đúng: Vì nếu A nằm trên trục tung và có tung độ b thì
^→OA = 0^→i+ b^→j ⇒ OA = (0;b) ⇒ A =(0;b)

d) Sai. Vì đường phân giác của góc phần tư thứ ba cũng thỏa mãn

Bài 5 trang 27 Hình 10. Trong các mặt phẳng Oxy cho điểm (x₀; y₀)

a) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với M qua trục Ox;

b) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với M qua trục Oy;

c) Tìm tọa độ điểm C đối xứng với M qua gốc O.

a) Hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành thì có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau. M₀ (x₀; y₀) ⇒  A(x₀;-y₀)

b) Hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung thì có tung độ bằng nhau còn hoành độ thì đối nhau. M₀ (x₀; y₀) ⇒ B(-x₀;y₀)

c) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc O thì các tọa độ tương ứng đối nhau. M₀ (x₀; y₀) ⇒ C(-x₀;-y₀)

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có A(-1; -2), B(3;2), C(4;-1). Tìm tọa độ điểm D.

Tứ giác ABCD là hình bình hành nên  ^→CD = ^→BA

Gọi (x; y) là tọa độ của D thì^→CD = (x-4; y+1); ^→BA = (-4;4);

^→CD = ^→BA ⇔ 

Vậy điểm D(0;-5) là điểm cần tìm.

Bài 7 trang 27 Toán hình 10. Các điểm A'(-4; 1), B'(2;4), C(2, -2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC. Tìm tọa độ đỉnh của tam giác ABC và A’B’C’ trùng nhau.

Giải: A’ là trung điểm của cạnh BC nên -4 = 1/2 (x_B+ x_C)

⇒ x_B+ x_C = -8        (1)

Tương tự ta có  x_A+ x_C = 4         (2)

x_B+ x_{C = 4}          (3)

⇒ x_A+ x_B+ x_{C =  0                      (4)}

Kết hợp (4) và (1) ta có:  x_A= 8

(4) và (2) ta có:  x_B= -4

(4) và (3) ta có: x_{C = -4}

Tương tự ta tính được: y_A = 1; y_B = -5; y_C = 7.

Vậy A(8;1), B(-4;-5), C(-4; 7).

Gọi G la trọng tâm tam giác ABC thì

x_G= (8-4-4)/3= 0;        y_G =  (1-5+7)/3 = 1 ⇒ G(0,1).

x_G’=  (-4 +2 +2)/3 = 0;         y_G’ = (1+4-2)/3 = 1⇒ G'(0;1)

Rõ ràng G và G’ trùng nhau.

Bài 8. Cho ^→a = (2; -2),  ^→b = (1; 4). Hãy phân tích vectơ ^→c = (5; 0) theo hai vectơ ^→a  và  ^→b.

Giải: Giả sử ta phân tích được ^→c theo ^→a  và  ^→b tức là có hai số m, n để  ^→c = m.^→a + n.^→b cho ta ^→c  = (2m+n; -2m+4n)

vì ^→c  =(0;5) nên ta có hệ:

Giải hệ ta được m = 2, n = 1

Vậy ^→c = 2^→a + ^→b