Giải bài 1,2,3,4,5, 6,7,8,9, 10 trang 12 hình 10: Tổng và hiệu hai vectơ

Giải bài 1,2,3,4,5, 6,7,8,9, 10 trang 12 hình 10: Tổng và hiệu hai vectơ

Tóm tắt kiến thức cần nhớ và Giải bài 1,2,3,4,5, 6,7,8,9, 10 trang 12 SGK hình 10: Tổng và hiệu hai vectơ – Chương 1 hình học lớp 10.

A. Tóm tắt kiến thức cần nhớ Tổng và hiệu hai vectơ

Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ a, b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b

2. Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì

3. Tính chất của tổng các vectơ

– Tính chất giao hoán – Tính chất kết hợp 

– Tính chất của véc tơ 0

4. Hiệu của hai vectơ

a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ a
được gọi là vec tơ đối của vec tơ a , kí hiệu

Vec tơ đối của véc tơ 0 là vectơ 0.

b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ a,b. Vec tơ hiệu của hai vectơ,

c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có

(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.

(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.

5. Áp dụng 

a) Trung điểm của đoạn thẳng:

I là trung điểm của đoạn thẳng⇔

b) Trọng tâm của tam giác:

G là trọng tâm  của tam giác ∆ABC ⇔

B. Đáp án và hướng dẫn giải bài tập SGK trang 12 SGK Hình học 10 bài: Tổng và hiệu hai vectơ

(Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé, bộ công cụ soạn thảo ad không thêm được)

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ  MA + MB và MA – MB

Lời giải: Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M’ để có vecto AM’= MB

Như vậy MA + MB = MA + AM’ = MM’ ( quy tắc 3 điểm)

Vậy vec tơ MM’ chính là vec tơ tổng của MA và MB

MM’ = MA + MB .

Ta lại có MA – MB = MA + (-MB)

⇒MA – MB = MA + BM (vectơ đối)

Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có:

MA + BM = BM + MA= BA (quy tắc 3 điểm)

Vậy vecto MA – MB = BA

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng véctơ:
MA = MB + BA
MC = MD + DC
⇒ MA + MC = MB + MD + (BA +DC)
ABD là hình bình hành, hai véctơ BA và DC là hai véctơ đối nhau nên:
BA + DC = véctơ 0
Suy ra: MA + MC = MB + MD
cách 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vectơ
AB = MB – MA
CD = MD – MC
⇒ AB + CD = (MB + MD) – (MA + MC)
ABCD là hình bình hành nên AB và CD là hai véctơ đối nhau, cho ta:
AB + CD = vectơ 0
Suy ra: MA + MC = MB + MD.

Bài 3. Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có

Lời giải: a) Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta cóNhư vậy:

mà 

Vậy

b) Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có Từ (1) và (2) suy ra 

Bài 4 trang 12. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng

Ta có: RJ + IQ + PS
= (RA + AJ) + (IB + BQ) + (PC + CS)
= (RA + CS) + (IB + AJ) + (PC + BQ)
Mà RA = -CS; IB = -AJ; PC = -BQ
Vì vậy:

Bài 5 Hình 10. Cho tam giác ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ

Ta có: véctơ AB + BC = AC
⇒ Độ dài của vectơ AB + vectơ BC là a
Vẽ vectơ AD = vectơ BC, khi đó vectơ AB – BC = AB – AD = DB
Tính DB:
Gọi I là giao điểm của AC và BD ⇒ I là trung điểm của BD ⇒ BD = 2BI
Mặt khác ΔBAi vuông tại I nên BI = AB.sinA = asin600 =a√3 / 2
Vậy: BD = 2 BI = a√3

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD  có tâm O. Chứng minh rằng:

a) Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ
BA = OA – OB (1)
Mặt khác, OA = CO (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
BA = CO – OB

b) Ta có: DB = AB – AD (1)
AD = BC (2)
Từ (1) và (2) cho ta:
DB = AB – BC

c) Ta có:
DA – DB = BA (1)
OD – OC = CD (2)
BA = CD (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra DA – DB = OD – OC.

d) DA – DB + DC = (DA – DB) + DC = BA + DC = BA + AB (Vì DC = AB) = 0

Bài 7. Cho véctơ a,b là hai vectơ khác véctơ 0. Khi nào có đẳng thức

a) Ta có |a + b| = |a| + |b|
Nếu coi hình bình hành ABCD có véctơ AB = DC = a và véctơ AD = BC = b thì |a + b| là độ dài đường chéo AC và |a| = AB; |b| = BC
Ta lại có: AC = AB + BC
Đẳng thức xảy ra khi điểm B nằm giữa A,C
Vậy |a + b| = |a| + |b| khi hai véctơ a,b cùng hướng
b) Tương tự, |a + b| là độ dài đường chéo AC
|a – b| là độ dài đường chéo BD
|a + b | = |a -b|⇒ AC= BD
Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có AD ⊥ Ab hay véctơ a ⊥ b.

Bài 8 trang 12 . Cho So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b.

Đáp án bài 8:

Từ |a + b| = 0, ta có  véctơ a + b = 0    ⇒ a = -b

Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài |a| = |b|, cùng phương và ngược hướng.

Bài 9 trang 12. Chứng minh rằng véctơ AB = véctơ CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD  và BC trùng nhau.

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho  véctơ AB = véctơ CD thì AD và BC có trung điểm trùng nhau. Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có

Vì véctơ AB = véctơ CD nên

Vì I là trung điểm của AD nên véctơ AI + véctơ DI = véctơ 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra véctơ CI + véctơ BI = vectơ 0 (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC.

b) AD và BC  có chung trung điểm I, ta chứng minh véctơ AB = véctơ CD
I là trung điểm của AD

I là trung điểm của BC

Suy ra

Bài 10. Cho ba lực  cùng tác động vào một vât tại điểm M và đứng yên. Cho biết cường độ của  đều là 100N  và góc ∠AMB = 60⁰

Tìm cường độ và hướng của lực F3

Giải: Để vật đứng yên thì ^→F3 phải có độ lớn |^→F1 + ^→F2| nhưng ngược hướng với ^→F1 +^→F2.
Ta có ^→F1 + ^→F2 = ^→MA + ^→MB = ^→MD
Tính MD: MD = 100√3 (Xem cách tính ở bài tập 5)
Vậy ^→F3 có cường độ là 100√3 và hướng ngược với hướng của MD.