Đường thẳng vuông góc mặt phẳng
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng. d ⊥ (P) , d ⊥ các đường thẳng trong (P) Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng : Để chứng minh đường thẳng d vuông ...
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng.
d ⊥ (P) , d ⊥ các đường thẳng trong (P)
Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) cần chứng minh đường thẳng d vuông góc với 2 đường cắt nhau trong mặt phẳng (P)
Mặt phẳng trung trực:
Mặt phẳng trung trực AB :là mặt phẳng vuông góc với AB, đi qua trung điểm của AB
Bài tập minh họa
Bài 1: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
- Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
- Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK), HK // BD
- Tìm giao điểm I của SC và mặt phẳng (AHK). Chứng minh I là hình chiếu vuông góc của A trên SC
Hướng dẫn giải chi tiết
1. Chứn minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
→ Tam giác SAB là tam giác vuông tại A
→ Tam giác SAD là tam giác vuông tại A
|
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và SBC. CMR:
- SC vuông góc với mp(BHK).
- HK vuông góc với mp(SBC)
Hướng dẫn giải chi tiết
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. H = BI ∩ AJ ( giao điểm 2 đường cao BI, AJ).
SJ là đường cao của tam giác SBC, kẻ CM vuông góc với SB. CM ∩ SJ = K. K – là trực tâm của tam giác SBC
Chứng minh : SC vuông góc với mp(BHK)
vì K là trực tâm của tam giác SBC. → BK ⊥ SC
Như vây chúng ta có. SC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau. → SC ⊥ (BHK)
Chứng minh : HK vuông góc với mp(SBC)
Có BC ⊥ (SAJ) → BC ⊥ HK
Có SC ⊥ (BHK)→ SC ⊥ HK
HK vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau. → HK ⊥ (SBC)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với đáy. Gọi M, N là hình chiếu của A trên SB, SD.
- Chứng minh MN//BD và SC vuông góc với mp(AMN).
- Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, biết SB = SD.
- Chứng minh (SAC) là mp trung trực của đoạn thẳng BD.
- Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SH = SK, OH = OK và HK//BD. Chứng minh (SAC) là mp trung trực của HK
Bài 3: Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mp khác nhau sao cho AC ⊥ BF. Gọi CH và FK là hai đường cao của tam giác BCE và ADF. Chứng minh:
- ACH và BFK là các tam giác vuông.
- BFAH và ACBK
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, SA ⊥ (ABCD).
- Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK).
- Kẻ AJ ⊥ (SBD). Chứng minh J là trực tâm của tam giác SBD.
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC). Gọi AI là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. Hạ HK ⊥ DI. Chứng minh:
- HK ⊥ BC
- K là trực tâm của tam giác DBC.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm S di động. Gọi D, F là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh: AF ⊥ SB