Đồ thị hamilton

Đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị mỗi đỉnh đúng một lần được gọi là đường đi Hamilton. Chu trình bắt đầu từ một đỉnh v nào đó qua tất cả các đỉnh còn lại mỗi đỉnh đúng một lần rồi quay trở về v được gọi là chu trình Hamilton. Đồ thị G được gọi là đồ thị Hamilton nếu nó chứa chu trình Hamilton và gọi là đồ thị nữa Hamilton nếu nó có đường đi Hamilton.

Rõ ràng đồ thị Hamilton là nửa Hamilton, nhưng điều ngược lại không còn đúng.

Ví dụ 1. Trong hình 1: G₃ là Hamilton, G₂ là nửa Hamilton còn G₁ không là nửa Hamilton.

Hình 1 Đồ thị Hamilton G 3 , nửa Hamilton G 2 , và G 1 .

Cho đến nay việc tìm một tiêu chuẩn nhận biết đồ thị Hamilton vẫn còn là mở, mặc dù đây là một vấn đề trung tâm của lý thuyết đồ thị. Hơn thế nứa, cho đến nay cũng chưa có thuật toán hiệu quả để kiểm tra một đồ thị có là Hamilton hay không. Các kết quả thu được phần lớn là điều kiện đủ để một đồ thị là đồ thị Hamilton. Phần lớn chúng điều có dạng "nếu G có số cạnh đủ lớn thì G là Hamilton". Một kết quả như vậy được phát biểu trong định lý sau đây.

Định lý 1 (Dirak 1952)

Đơn đồ thị vô hướng G với n>2 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn n/2 là đồ thị Hamilton.

Chứng minh:

Thêm vào đồ thị G k đỉnh mới và nối chúng với tất cả các đỉnh của G. giả sử k là số nhỏ nhất các đỉnh cần thêm vào để cho đồ thị thu được G’ là đồ thị Hamilton. Ta sẽ chỉ ra rằng k=0. Thực vậy, giả sử ngược lại là k >0. Ký hiệu

v, p, w, . . ., v là chu trình Hamilton trong G’, trong đó v, w là đỉnh của G còn p là một trong số các đỉnh mới. Khi đó w không kề với v vì nếu ngược lại, ta không cần sử dụng p và điều đó là mâu thuẫn với giả thiết k nhỏ nhất. Hơn thế nữa đỉnh (w’ chẳng hạn) kề với w không thể đi liền sau đỉnh v’ (kề với v) vì rằng khi đó có thể thay

v → p→ w → . . . → v’→ w’ → . . . → v

bởi v → v’ → . . . → w → w’ → . . . → v bằng cách đảo ngược đoạn của chu trình nằm giữa w và v’. Từ đó suy ra là số đỉnh của đồ thị G’ không kề với w là không nhỏ hơn số đỉnh kề với v (tức là ít nhất cũng là bằng n/2+k), đồng thời số đỉnh của G’ kề với w ít ra là phải bằng n/2+k. Do không có đỉnh nào của G’ vừa không kề, lại vừa kề với w, cho nên tổng số đỉnh của đồ thị G’ (G’ có n+k đỉnh) không ít hơn n+2k. Mâu thuẫn thu được đã chứng minh định lý.

Định lý sau là tổng quát hoá của định lý Dirak cho đồ thị có hướng:

Định lý 2 Giả sử G là đồ có hướng liên thông với n đỉnh.

Nếu deg⁺ (v) ≥ n/2, deg ^– (v) ≥ n/2, ∀ ∀v thì G là Hamilton.

Có một số dạng đồ thị mà ta có thể biết khi nào là đồ thị Hamilton. Một ví dụ như vậy là đồ thị đấu loại. Đồ thị đấu loại là đồ thị có hướng mà trong đó hai đỉnh bất kỳ của nó được nối với nhau bởi đúng một cung. Tên đấu loại xuất hiện như vậy vì đồ thị như vậy có thể dùng để biểu diễn kết quả thi đấu bóng chuyền, bóng bàn hay bất cứ một trò chơi nào mà không cho phép hoà. Ta có định lý sau:

Định lý 3

i) Mọi đồ thị đấu loại là nửa Hamilton.

ii) Mọi đồ thị đấu loại liên thông mạnh là Hamilton.

Ví dụ 2 Đồ thị đấu loại D₅, D₆ được cho trong hình 3.2

Hình 2 Đồ thị đấu loại D 5 , đấu loại liên thông mạnh D 6 .

Thuật toán liệt kê tất cả các chu trình Hamilton của đồ thị

Thuật toán sau đây được xây dựng dựa trên cơ sở thuật toán quay lui cho phép liệt kê tất cả các chu trình Hamilton của đồ thị.

Procedure Hamilton(k);

(* liet ke cac chu trinh Hamilton thu duoc bang viec phat trien day dinh (X[1],. . . , X[k-1]) cua do thi G=(V,E) cho boi danh sach ke: Ke(v), v ∈ V *)

begin

for y ∈ Ke(X[k-1]) do

if (k =N+1) and (y=v 0 ) then Ghinhan(X[1],. . . , X[n], v 0 )

else

if Chuaxet[y] then

begin

X[k]:=y;

Chuaxet[y]:=false;

Hamilton(k+1);

Chuaxet[y]:=true;

end;

end;

(* Main program*)

begin

for v ∈ V do Chuaxet[v]:=true;

X[1]:=0; (* v0 la mot dinh nao do cua do thi *)

Chuaxet[v0]:=false;

Hamilton(2);

end.

Ví dụ 3 : Hình 3 dưới đây mô tả cây tìm kiếm theo thuật toán vừa mô tả.

Hình 3: Đồ thị và cây liệt kê chu trình Hamilton của nó theo thuật toán quay lui.

Trong trường hợp đồ thị có không quá nhiều cạnh thuật toán trên có thể sử dụng để kiểm tra đồ thị có phải là Hamilton hay không.

Bài tập 1: Hội nghị bàn tròn

Tổng thư ký Đại hội đồng Liên hợp quốc triệu tập một cuộc họp có N nhà ngoại giao của N tổ chức tham gia. Các đại diện ngoại giao được bố trí ngồi quanh một bàn tròn. Giữa một số tổ chức có quan hệ căng thẳng, vì vậy không thể xếp họ ngồi cạnh nhau được. Thông tin về quan hệ giữa các tổ chức được cho dưới dạng cặp số nguyên i, j nếu giữa 2 tổ chức này có quan hệ căng thẳng.

Hãy lập trình giúp Tổng thư ký Liên hợp quốc bố trí chỗ ngồi quanh bàn họp. Các tổ chức được đánh số từ 1 tới N, 0 < N <= 500.

Dữ liệu vào: từ file CONF.INP, dòng đầu tiên chứa số nguyên N, các dòng sau, mỗi dòng một cặp số i, j cho biết các đại diện i và j không ngồi cạnh nhau được. Kết thúc là một dòng chứa 2 số 0.

Kết quả: đưa ra file CONF.OUT. Nếu không có cách bố trí thỏa mãn yêu cầu thì đưa ra thông báo KHONG CO, trong trường hợp ngược lại – đưa ra dãy N số nguyên xác định vị trí ai ngồi cạnh ai quanh bàn tròn.

Ví dụ:

CONF.INP CONF.OUT

11 1 9 7 4 11 5 8 2 10 3 6

1 4

1 7

5 7

10 7

10 8

10 9

3 4

0 0

Bài tập 2: Domino

Cho trước N con cờ domino, hãy viết chương trình cho biết rằng có cách sắp N con cờ đó theo đúng luật domino sao cho các con cờ hình thành vòng tròn hay không, nếu có hãy chỉ ra một cách sắp.

Dữ liệu vào: file DOMINO.INP

Dòng đầu chứa số N

N dòng tiếp theo, mỗi dòng chứa 2 số từ 0 đến 6 mang giá trị đại diện cho 2 đầu của domino.

Dữ liệu ra: file DOMINO.OUT

Dòng đầu chứa số 1 hoặc 0 tương ứng với sắp được quân domino thành vòng tròn và không sắp được.

Nếu dòng đầu là 1 (tương ứng với sắp được) thì dòng thứ hai liệt kê ra N chỉ số của N con cờ domino theo thứ tự để sắp thành vòng tròn. Nếu dòng đầu là 0 thì không có dòng thứ hai.

Ví dụ:

DOMINO.INP

4

5 3

5 6

2 3

6 2

DOMINO.OUT

1

1 3 4 2

Bài tập 3: Kiểm tra đường

Một trạm quảng đường giao thông phải chịu trách nhiêm về tình trạng của một mạng lưới giao thông nối giữa các điểm dân cư. Hàng tháng, họ phải cử một đội đi kiểm tra một vòng qua khắp mạng lưới để xem xét tình trạng hiện thời của các đường giao thông nhằm báo sửa chữa kịp thời nếu có nhu cầu. Hãy viết chương trình nhập vào mạng lưới giao thông và giúp trạm quyết định lộ trình của đội kiểm tra sao cho có thể thăm tất cả các con đường mà tổng chiều dài đoạn đường đi qua là nhỏ nhất.

Bài tập 4: Mã đi tuần

Hãy cài đặt chương trình xác định lộ trình của con mã trên bàn cờ 8x8 ô bắt đầu từ ô (i, j) đi qua tất cả các ô của bàn cờ vàmỗi ô chỉ 1 lần duy nhất.

Mở rộng với trường hợp bàn cờ kích thước NxN.

Bài tập 5: Hội nghị bàn tròn

Có 12 người ngồi chung 1 bàn tiệc tròn. Mỗi người có ít nhất 6 người quen. Hãy chỉ ra cách sắp xếp sao cho mỗi người đều ngồi cạnh người mình quen . Tổng quát, hãy sắp N người ngồi chung quanh bàn tròn sao cho mỗi người đều ngồi cạnh người mình quen. Biết mỗi người có ít nhất (N + 1)/2 người quen.