Định lý cơ bản của số học

Phân tích các số

Trước hết, mỗi số nguyên tố là tích của một thừa số là chính nó. Giả sử rằng có các số nguyên dương lớn hơn 1 không biểu diễn được thành tích các số nguyên tố. Khi đó gọi n là số nhỏ nhất trong các số đó. Số n này khác 1 và là hợp số. Do đó

n = ab

trong đó cả a và b là các số nguyên dương nhỏ hơn n. Vì n là số nhỏ nhất không thể phân tích thành tích các số nguyên tố nên cả a và b phân tích được thành tích các số nguyên tố. Nhưng khi đó

n = ab

lại phân tích được. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Chứng minh cách biểu diễn là duy nhất

Ta giả sử rằng tồn tại số nguyên lớn hơn 1 mà có 2 cách biểu diễn dưới dạng tích các thừa số nguyên tố. Khi đó giả sử s là số nhỏ nhất trong các số như vậy, tức là s = p1p2...pm = q1q2...qn với pi,qj là các số nguyên tố. Do p1 chia hết q1q2...qn suy ra tồn tại qj mà p1 chia hết qj. Từ đó ta có pi = qj, bỏ 2 số nguyên tố ra khỏi đẳng thức ta được 2 vế là 2 khai triển khác nhau của số s chia cho p1, mà theo giả thuyết s là số nhỏ nhất như vậy, mâu thuẩn này chứng tỏ giả thiết là sai. vậy mỗi số nguyên lớn hơn một chỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng tích thừa số nguyên tố (không kể đến thứ tự các thừa số).