Đề 3 trang 88 SBT Hình học 11: Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD....

Cho tứ diện ABCD và M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác BCD. Qua M kẻ các tia song song với AB, AC, AD. Các tia này theo thứ tự cắt các mặt (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tại B’, C’, D’

Câu 1. ( 3 điểm)

Xác định các giao điểm B’, C’, D’

Câu 2. ( 3 điểm)

Chứng minh ({{MB’} over {AB}} + {{MC’} over {AC}} + {{M{ m{D}}’} over {A{ m{D}}}} = 1)

Câu 3. ( 4 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ({{MB’} over {AB}}.{{MC’} over {AC}}.{{M{ m{D}}’} over {A{ m{D}}}})

Giải:

Câu 1. 

(h.2.83) (left( {ABM} ight) cap left( {BC{ m{D}}} ight) = BM)

Gọi I, J, K  lần lượt là giao điểm của BM và CD; CM  và BD; DM và BC.

Ta có : (left( {ABM} ight) cap left( {AC{ m{D}}} ight) = AI). Trong mặt phẳng (ABM), kẻ (MB’parallel AB) với (B’ = MB’ cap AI).

Ta có: (B’ = MB’ cap left( {AC{ m{D}}} ight))

Các điểm C’ và D’ được xác định tương tự.

Câu 2. 

(h.2.84)  Trong tam giác ABI, ta có:

({{MB’} over {AB}} = {{MI} over {BI}},,,,,,,,,,,,left( 1 ight))

Tương tự ta cũng có:

({{MC’} over {AC}} = {{MJ} over {CJ}},,,,,,,,,left( 2 ight))

({{MD’} over {AD}} = {{MK} over {DK}},,,,,,,,,,,left( 3 ight))

Cộng (1), (2), (3) lại ta có:

({{MB’} over {AB}} + {{MC’} over {AC}} + {{M{ m{D}}’} over {A{ m{D}}}} = {{MI} over {BI}} + {{MJ} over {CJ}} + {{MK} over {DK}})

Ta chứng minh:

({{MI} over {BI}} + {{MJ} over {CJ}} + {{MK} over {DK}} = 1)

Dễ thấy rằng :

({{{S_{MB{ m{D}}}}} over {{S_{CB{ m{D}}}}}} = {{{1 over 2}B{ m{D}}.dleft( {M,B{ m{D}}} ight)} over {{1 over 2}B{ m{D}}{ m{.d}}left( {C,B{ m{D}}} ight)}} = {{MJ} over {CJ}})

Tương tự

({{{S_{MC{ m{D}}}}} over {{S_{{ m{BCD}}}}}} = {{MI} over {BI}}), ({{{S_{MBC}}} over {{S_{DBC}}}} = {{MK} over {DK}})

Như vậy:

({{MI} over {BI}} + {{MJ} over {CJ}} + {{MK} over {DK}} = {{{S_{MC{ m{D}}}} + {S_{MB{ m{D}}}} + {S_{MBC}}} over {{S_{BC{ m{D}}}}}} = {{{S_{BC{ m{D}}}}} over {{S_{BC{ m{D}}}}}} = 1)

Câu 3.

({{MB’} over {AB}} + {{MC’} over {AC}} + {{MD’} over {A{ m{D}}}} le {left( {{{{{MI} over {BI}} + {{MJ} over {CJ}} + {{MK} over {DK}}} over 3}} ight)^3} = {1 over 9}). Dấu bằng xảy ra khi ({{MI} over {BI}} = {{MJ} over {CJ}} = {{MK} over {DK}} = {1 over 3}), chẳng hạn khi M là trọng tâm.

Vậy (max left( {{{MB’} over {AB}}.{{MC’} over {AC}}.{{MD’} over {A{ m{D}}}}} ight) = {1 over 9})