Đề 2 trang 23 Sách bài tập (SBT) Hình học 12

Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi A’, B’ , C’ , D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC.

ĐỀ 2 (45 phút)

Câu 1 (4 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi A’, B’ , C’ , D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC.

a) Chứng minh A’B’C’D’ cũng là một khối tứ diện đều.

b) Tính  V_{A’B’C’D’}  theo a.

Hướng dẫn làm bài

a) Gọi E là trung điểm của CD. Khi đó  ({{EB'} over {EA}} = {{EA'} over {EB}})

Suy ra  B’A’ // AB và (B'A' = {1 over 3}AB = {1 over 3}a)

Tương tự các cạnh khác của tứ diện A’B’C’D’  cũng bằng ({1 over 3}a)  nên A’B’C’D’ là một khối tứ diện đều.

b) Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD).

Vì AB = AC = AD nên HB = HC = HD.  Suy ra:  (H equiv A')

Ta có:  ({ m{AA}}' = sqrt {{a^2} - {{({a over {sqrt 3 }})}^2}}  = {{asqrt 2 } over {sqrt 3 }})

          ({V_{ABCD}} = {1 over 3}{1 over 2}{a^2}{{sqrt 3 } over 2}{{asqrt 2 } over {sqrt 3 }} = {{{a^3}sqrt 2 } over {12}})

Vì tứ diện A’B’C’D’  đồng dạng với tứ diện ABCD với tỉ số đồng dạng là (k = {1 over 3}) , nên ({V_{A'B'C'D'}} = {1 over {27}}{V_{ABCD}} = {{sqrt 2 } over {324}}{a^3})

Câu 2 (6 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân ở B, mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = 3a, AA’ = 5a ,(widehat {A'BC} = {60^0}) .

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB’A’)

Hướng dẫn làm bài

a) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A’ đến (ABC).

Vì ((A'BC) ot (ABC)) nên H thuộc đường thẳng BC.  Vì  (AB ot BH) nên (AB ot BA').

Ta có:  (A'B = sqrt {A'{A^2} - A{B^2}}  = 4a) ;

            (A'H = A'Bsin {60^0} = {{4asqrt 3 } over 2} = 2sqrt 3 a) ;

({V_{ABC.A'B'C'}} = {{9{a^2}} over 2}2asqrt 3  = 9sqrt 3 {a^3})

b) Ta có:  ({V_{A'.ABC}} = {1 over 3}{V_{ABC.A'B'C'}} = 3sqrt 3 {a^3};)

({S_{ABA'}} = {1 over 2}A'B.AB = {1 over 2}4a.3a = 6{a^2})

Vì  ({V_{A'.ABC}} = {V_{C.ABA'}} = {1 over 3}{S_{ABA'}}.d(C,(ABA')))

(Rightarrow d(C,(ABA')) = {{3{V_{A'.ABC}}} over {{S_{ABA'}}}} = {{9sqrt 3 {a^3}} over {6{a^2}}} = {{3sqrt 3 a} over 2})

Chú ý: Có thể giải câu b) bằng cách khác như sau:

(left{ {matrix{{(A'BC) ot (ABC)} cr {AB ot BC} cr} } ight. Rightarrow  AB ot (A'BC))

(Rightarrow  (ABB'A') ot (A'BC))

(Rightarrow d(C,(ABB'A')) = d(C,A'B) = BCsin {60^0} = {{3asqrt 3 } over 2})

Sachbaitap.com