Bài 1.36 trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M là trung điểm của BB’ Tính theo a : ...
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M là trung điểm của BB’ Tính theo a :
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M là trung điểm của BB’ Tính theo a :
a) Khoảng cách giữa AC và DC’.
b) Độ dài đoạn vuông góc chung giữa CM và AB’.
Hướng dẫn làm bài
a)
Gọi d(AC, DC’) = h
Ta có C’A’ // CA , do đó:
d(AC, DC’) = d(AC, (A’C’D)) = d(C, (A’C’D)) = h
Ta có: ({V_{A'.CDC'}} = {1 over 3}{{{a^2}} over 2}a = {{{a^3}} over 6})
Để ý rằng tam giác A’C’D là tam giác đều cạnh bằng (asqrt 2 ).
Do đó: ({S_{A'C'D}} = {{{a^2}sqrt 3 } over 2});
({V_{C.A'C'D}} = {1 over 3}{S_{A'C'D}}.h = {1 over 3}.{{{a^2}sqrt 3 } over 2}h = {V_{A'.CDC'}} = {{{a^3}} over 6})
Từ đó suy ra: (h = {{{{{a^3}} over 6}} over {{{{a^2}sqrt 3 } over 6}}} = {a over {sqrt 3 }} = {{asqrt 3 } over 3})
b)
Từ A kẻ đường thẳng song song với MC’ , cắt DD’ tại N và A’D’ kéo dài tại J.
Đặt h1 = d(MC’ , AB’) = d(M, (AB’N))
Ta có: ({V_{M.AB'N}} = {V_{N.AB'M}} = {1 over 3}{{{a^2}} over 4}a = {{{a^3}} over {12}})
Để ý rằng N là trung điểm của DD’ , A’J = 2A’D’ và JA = JB’
Gọi I là trung điểm của AB’, khi đó (JI ot AB').
Ta có: ({ m{AJ}} = sqrt {{ m{AA}}{'^2} + A'{J^2}} = sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = asqrt 5 ;AI = {{asqrt 2 } over 2})
Suy ra: ({ m{IJ}} = sqrt {5{a^2} - {{{a^2}} over 2}} = {{3a} over {sqrt 2 }}) ;
({S_{JAB'}} = {1 over 2}{{3a} over {sqrt 2 }}asqrt 2 = {{3{a^2}} over 2})
Do đó: ({S_{AB'N}} = {1 over 2}{S_{JAB'}} = {{3{a^2}} over 4}) ;
({V_{M.AB'N}} = {1 over 3}{{3{a^2}} over 4}{h_1} = {{{a^2}{h_1}} over 4} = {{{a^3}} over {12}})
Suy ra: ({h_1} = {a over 3})
Chú ý: Có thể tính thể tích SAB’N bằng cách khác.
Để ý rằng: (NB' = sqrt {ND{'^2} + B'D{'^2}} = sqrt {{{{a^2}} over 4} + 2{a^2}} = {{3a} over 2},)
(AN = {{asqrt 5 } over 2},,,AB' = asqrt 2 )
Gọi (alpha = widehat {NAB'}) . Ta có: (NB{^2} = { m{ }}A{N^2} + { m{ }}AB{^2}-{ m{ }}2AN.AB.cosalpha )
Hay ({{9{a^2}} over 4} = {{5{a^2}} over 4} + 2{a^2} - 2{{asqrt 5 } over 2}asqrt 2 cos alpha)
( Rightarrow cos alpha = {1 over {sqrt {10} }} Rightarrow sin alpha = {3 over {sqrt {10} }})
Do đó: ({S_{AB'N}} = {1 over 2}AB'.AN.sin alpha = {1 over 2}asqrt 2 {{asqrt 5 } over 2}{3 over {sqrt {10} }} = {{3{a^2}} over 4})
Sachbaitap.com
