Đề 1 trang 23 Sách bài tập (SBT) Hình học 12: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Chứng minh hai tứ diện ABCB’ và...

ĐỀ 1 (45 phút)

Câu 1 (4 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Chứng minh hai tứ diện ABCB’ và AA’D’B’ bằng nhau.

Hướng dẫn làm bài

Ta có  (A’B ot AB’,A’B ot B’C’ =  > A’B ot (ADC’B’)). Để ý rằng A’B cắt (ADC’B’) tại trung điểm M của nó, do đó A’ và B đối xứng với nhau qua mặt phẳng (ADC’B’).

Tương tự, D’ và C đối xứng với nhau qua mặt phẳng (ADC’B’). Phép đối xứng qua mặt phẳng (ADC’B’) biến tứ diện ABCB’  thành tứ diện AA’D’B’ nên hai tứ diện đó bằng nhau.

Câu 2 (6 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là điểm H sao cho: (overrightarrow {AH}  = {1 over 3}overrightarrow {AC} ,SH = {4 over 3}a)

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Gọi AI là đường cao của tam giác ASC. Chứng minh rằng I là trung điểm của SC và tính thể tích khối tứ diện ABSI.

Hướng dẫn làm bài

a) Thể tích hình chóp S.ABCD bằng : ({1 over 3}{a^2}{4 over 3}a = {{4{a^3}} over 9})

b) Ta có  ({ m{A}}{{ m{S}}^2} = A{H^2} + S{H^2} = {({{asqrt 2 } over 3})^2} + {{16{a^2}} over 9} = 2{a^2} = A{C^2})

Do đó tam giác ASC cân ở A. Suy ra I là trung điểm của SC. 

({V_{ABSI}} = {V_{S.ABI}} = {1 over 2}{V_{S.ABC}} = {1 over 4}{V_{S.ABCD}} = {{{a^3}} over 9})