Bài 1.37 trang 23 sách bài tập – Hình học 12: Cho tứ diện ABCD. Gọi hA , hB, hC, hD lần lượt là các đường cao...
Cho tứ diện ABCD. Gọi hA , hB, hC, hD lần lượt là các đường cao của tứ diện xuất phát từ A, B, C, D và r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng. Bài 1.37 trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12 – ĐỀ TOÁN TỔNG HỢP – CHƯƠNG I. KHỐI ĐA ĐIẾN Cho tứ diện ABCD. Gọi h A , h B , h ...
Cho tứ diện ABCD. Gọi hA , hB, hC, hD lần lượt là các đường cao của tứ diện xuất phát từ A, B, C, D và r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng:
({1 over {{h_A}}} + {1 over {{h_B}}} + {1 over {{h_C}}} + {1 over {{h_D}}} = {1 over r})
Hướng dẫn làm bài:
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện, V là thể tích tứ diện. Ta có
(V = {V_{IBCD}} + {V_{ICDA}} + {V_{IDAB}} + {V_{IABC}})
( Rightarrow I = {{{V_{IBCD}}} over V} + {{{V_{ICDA}}} over V} + {{{V_{IDAB}}} over V} + {{{V_{IABC}}} over V})
(= {{{1 over 3}r{S_{BCD}}} over {{1 over 3}{h_A}{S_{BCD}}}} + {{{1 over 3}r{S_{CDA}}} over {{1 over 3}{h_B}{S_{CDA}}}} + {{{1 over 3}r{S_{DAB}}} over {{1 over 3}{h_C}{S_{DAB}}}} + {{{1 over 3}r{S_{ABC}}} over {{1 over 3}{h_D}{S_{ABC}}}})
( = r({1 over {{h_A}}} + {1 over {{h_B}}} + {1 over {{h_C}}} + {1 over {{h_D}}}))
(Rightarrow {1 over r} = {1 over {{h_A}}} + {1 over {{h_B}}} + {1 over {{h_C}}} + {1 over {{h_D}}})
