Đặc điểm của các tập hợp các phương án
Tổ hợp lồi - Cho m điểm x i trong không gian R n . Điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm x i nếu : - Khi x là tổ hợp lồi của hai điểm x 1 , x 2 người ta thường viết : x=λx 1 ...
Tổ hợp lồi
- Cho m điểm xi trong không gian Rn . Điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm xi nếu : 
- Khi x là tổ hợp lồi của hai điểm x1, x2 người ta thường viết :
x=λx1+(1-λ)x2 (0≤λ≤1)
Nếu 0<λ<1 thì x được gọi là tổ hợp lồi thật sự.
- Ðoạn thẳng
Tập hợp tất cả các tổ tổ hợp lồi của 2 điểm bất kỳ A, B∈ Rn được gọi là đoạn thẳng nối A và B . Ký hiệu :
δAB= {x = λA + (1-λ)B với λ∈[0,1] }
Định lý
Tổ hợp lồ có tính chất bắc cầu.
Tập hợp lồi
Tập con S của Rn được gọi là tập hợp lồi khi S chứa toàn bộ đoạn thẳng nối hai điểmbất kỳ của S.
λx + (1-λ)y ∈ S ∀x,y∈,λ∈[0,1]
Tập hợp rỗng và tập hợp chỉ có một phần tử được xem là tập hợp lồi.
Định lý
Giao của một số bất kỳ các tập hợp lồi là một tập hợp lồi.
Định lý
Nếu S là một tập hợp lồi thì S chứa mọi tổ hợp lồi của một họ điểm bất kỳ trong S.
Ðiểm cực biên của một tập hợp lồi
Ðiểm x trong tập lồi S ⊂ Rn được gọi là điểm cực biên nếu không thể biểu diễn được x dưới dạng tổ hợp lồi thật sự của hai điểm phân biệt của S.
4- Ða diện lồi và tập lồi đa diện
Đa diện lồi
Tập hợp S tất cả các tổ hợp của các điểm x1, x2,....,xm cho trước được gọi là đa diện lồi sinh ra bởi các điểm đó.
Đa diện lồi là một tập hợp lồi.
Trong đa diện lồi người ta có thể loại bỏ dần các điểm là tổ hợp của các điểm còn lại. Khi đó người ta thu được một hệ các điểm, giả sử là y1, y2,...,yp (p≤m) . Các điểm này chính là các điểm cực biên của đa diện lồi, chúng sinh ra đa diện lồi đó.
Số điểm cực biên của đa diện lồi là hữu hạn.
Siêu phẳng - Nửa không gian
A=[aij]m.n là ma trận cấp m.n
Ai (i=1,2,...,m) là hàng thứ i của A
Siêu phẳng trong Rn là tập các điểm x=[x1,x2,.....,xn]T thỏa
Ai x = bi
Nửa không gian trong Rn là tập các điểm x=[x1,x2,.....,xn]T thỏa
Ai x ≥ bi
Siêu phẳng và nửa không gian đều là các tập hợp lồi.
Tập lồi đa diện
Giao của một số hữu hạn các nửa không gian trong Rn được gọi là tập lồi đa diện.
Tập lồi đa diện là một tập hợp lồi.
Nếu tập lồi đa diện không rỗng và giới nội thì đó là một đa diện lồi
Ðịnh lý
Tập hợp các phương án của một quy hoạch tuyến tính là một tập lồi đa diện.
Nếu tập hợp lồi đa diện này không rỗng và giới nội thì đó là một đa diện lồi, số điểm cực biên của nó là hữu hạn.
Tập hợp các phương án tối ưu của một quy hoạch tuyến tính là một tập lồi.
Giả sử A=[aij]m.n có cấp m.n, m ≤ n, rang(A)=m .
Gọi Aj (j=1,2,...,n) cột thứ j của ma trận A, quy hoạch tuyến tính chính tắc trên có thể viết :
Gọi S={x=[x1,x2,...,xn]T ≥ 0 / x1A1+ x2A2+...+ xnAn=b} là tập các phương án của bài toán.
∈ S là một phương án khác 0.
Định lý
Điều kiện cần và đủ để x0 là phương án cực biên ( điểm cực biên của S) là các cột Aj ứng với xj0 size 12{x rSub { size 8{j} } rSup { size 8{0} } } {}>0 là độc lập tuyến tính.
Hệ quả
Số phương án cực biên của một quy hoạch tuyến tính chính tắc là hữu hạn. Số thành phần > 0 của một phương án cực biên tối đa là bằng m.
Khi số thành phần > 0 của một phương án cực biên bằng đúng m thì phương án đó được gọi là một phương án cơ sở.
Định lý
Nếu tập các phương án của một quy hoạch tuyến tính chính tắc không rỗng thì quy hoạch tuyến tính đó có ít nhất một phương án cực biên.
Bổ đề
Nếu
x¯ size 12{ {overline {x}} } {} là một phương án tối ưu của quy hoạch tuyến tính.
x1, x2 là các phương án của quy hoạch tuyến tính.
x¯ size 12{ {overline {x}} } {} là tổ hợp lồi thực sự của x1, x2
thì x1, x2 cũng là phương án tối ưu của quy hoạch tuyến tính.
Định lý
Nếu quy hoạch tuyến tính chính tắc có phương án tối ưu thì thì sẽ có ít nhất một phương án cực biên là phương án tối ưu.
Ví dụ : xét quy hoạch tuyến tính chính tắc
Với hệ A1 A2 ta tính được 
Với hệ A1 A3 ta tính được 
Với hệ A2 A3 ta tính được 
Vì các thành phần của phương án cực biên là > 0 nên ta chi xét x2 và x3 . Khi đó :
z(x2)=2.1+3.0=2
z(x3)=2.0+3.1/3=1
Vậy x2=101T size 12{x rSup { size 8{2} } = left [ matrix { 1 {} # 0 {} # 1{} } right ] rSup { size 8{T} } } {}là một phương án tối ưu.
Định lý
Điều kiện cần và đủ để một quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu là tập các phương án không rỗng và hàm mục tiêu bị chặn.
Định lý
Nếu tập các phương án của một quy hoạch tuyến tính không rỗng và là một đa diện lồi thì quy hoạch tuyến tính đó sẽ có ít nhất một phương án cực biên là phương án tối ưu.
Từ những kết quả trên người ta có cách giải một quy hoạch tuyến tính hai biến bằng phương pháp hình học thông qua ví dụ sau :
Ví dụ : xét quy hoạch tuyến tính
A,B,C,D,O là các điểm cực biên. Giá trị hàm mục tiêu tại đó là :
z(A)=3.6+2.0=18
z(B)=3.4+2.5=22
z(C)=3.2+2.6=18
z(D)=3.0+2.8=8
z(O)=3.0+2.0=0
Phương án tối ưu của bài toán đạt được tại B
