Dẫn nhập, phép biến đổi Laplace
Phép biến đổi Laplace, một công cụ toán học giúp giải các phương trình vi phân, được sử dụng đầu tiên bởi Oliver Heaviside (1850-1925), một kỹ sư người Anh, để giải các mạch điện. So với phương pháp cổ điển, phép biến đổi Laplace có ...
Phép biến đổi Laplace, một công cụ toán học giúp giải các phương trình vi phân, được sử dụng đầu tiên bởi Oliver Heaviside (1850-1925), một kỹ sư người Anh, để giải các mạch điện.
So với phương pháp cổ điển, phép biến đổi Laplace có những thuận lợi sau:
* Lời giải đầy đủ, gồm đáp ứng tự nhiên và đáp ứng ép, trong một phép toán.
* Không phải bận tâm xác định các hằng số tích phân. Do các điều kiện đầu đã được đưa vào phương trình biến đổi, là phương trình đại số, nên trong lời giải đầy đủ đã chứa các hằng số.
Về phương pháp, phép biến đổi Laplace tương tự với một phép biến đổi rất quen thuộc: phép tính logarit
(H 10.1) cho ta so sánh sơ đồ của phép tính logarit và phép biến đổi Laplace
Để làm các phép tính nhân, chia, lũy thừa . . . của các con số bằng phép tính logarit ta thực hiện các bước:
1. Lấy logarit các con số
2. Làm các phép toán cộng, trừ trên logarit của các con số
3. Lấy logarit ngược để có kết quả cuối cùng.
Thoạt nhìn, việc làm có vẻ như phức tạp hơn nhưng thực tế, với những bài toán có nhiều số mã, ta sẽ tiết kiệm được rất nhiều thời gian vì có thể sử dụng các bảng lập sẵn (bảng logarit) khi biến đổi. Hãy thử tính 1,43560,123789 mà không dùng logarit.
Trong bài toán giải phương trình vi tích phân dùng phép biến đổi Laplace ta cũng thực hiện các bước tương tự:
1. Tính các biến đổi Laplace của các số hạng trong phương trình. Các điều kiện đầu được đưa vào
2. Thực hiện các phép toán đại số.
3. Lấy biến đổi Laplace ngược để có kết quả cuối cùng.
Giống như phép tính logarit, ở các bước 1 và 3 nhờ sử dụng các bảng lập sẵn chúng ta có thể giải quyết các bài toán khá phức tạp một cách dễ dàng và nhanh chóng.
Phép biến đổi Laplace
Hàm f(t) xác định với mọi t>0. Biến đổi Laplace của f(t), được định nghĩa
s có thể là số thực hay số phức. Trong mạch điện s=σ+jω
Toán tử L thay cho cụm từ 'biến đổi Laplace của"
Điều kiện đủ để f(t) có thể biến đổi được là
δ là số thực, dương.
Điều kiện này hầu như được thỏa đối với những hàm f(t) gặp trong mạch điện. Vì e-δt là hàm mũ giảm khi t tăng nên khi nhân với |f(t)| ta cũng được kết quả tương tự.
Thí dụ, với hàm f(t)=tn, dùng qui tắc Hospital, người ta chứng minh được
Ta nói toán tử L biến đổi hàm f(t) trong lãnh vực thời gian sang hàm F(s) trong lãnh vực tần số phức. Hai hàm f(t) và F(s) làm thành một cặp biến đổi
Thí dụ 10.1
Tìm biến đổi Laplace của hàm nấc đơn vị
Thí dụ 10.2
Tìm biến đổi Laplace của f(t) = e-at, a là hằng số
Kết quả của 2 thí dụ trên cho một bảng nhỏ gồm 2 cặp biến đổi
Bằng cách tính biến đổi của một số hàm quen thuộc, ta sẽ xây dựng được một bảng dùng để tra sau này.
Phép biến đổi Laplace ngược
Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa
Do tính độc nhất của phép biến đổi Laplace, ta không sử dụng định nghĩa (10.3) để xác định f(t) mà ta thường dùng kết quả của những cặp biến đổi để xác định f(t) khi đã có F(s)
