Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm, số nghiệm của phương trình

VĐ 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH f(x)=0 CÓ NGHIỆM

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Phương pháp:

 Để chứng minh phương trình có nghiệm, cần tìm hai số a và b sao cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0.

 Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho:

   – Các giá trị f(a), f(b) không chứa tham số, hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.

   – Hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0.

 *Để chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm,cần tìm được k cặp số ai và bi sao cho các khoảng (ai;bi) rời nhau, f(ai).f(bi) < 0 và hàm số

y = f(x) liên tục trên tất cả các đoạn [ai;bi].

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;1): 2×5-5×3-1=0.

Bài 2. CMR phương trình:2×3-5×2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.

Bài 3. CMR phương trình: 3×3 + 2x – 5 = 0  có ít nhất một nghiệm.

Bài 4. CMR phương trình: 4×4 + 2×2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1).

Bài 5. CMR phương trình 2×3 – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn 

Bài 6. Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

                     (m2 – 4)(x – 1)6 + 5×2 – 7x + 1=0

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình:

a. x5 + 7×4 – 3×2 + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.

b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong (-p/6; p)

c. x5 – 5×3 + 4x – 1 = 0     có năm nghiệm phân biệt

d. (m2 – 1)x5 – (11m2 – 10)x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)*

Bài 2. CMR các phương  sau luôn có nghiệm:

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình:

a. 2×5 + 3×4 + 3×2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

b. 2×3 + 3×2 + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm.

c. 4×4 + 2×2 – x – 28 = 0 luôn có nghiệm