Câu 94 trang 20 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Chứng minh ...
Chứng minh
Chứng minh:
({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = {1 over 2}left( {x + y + z} ight)left[ {{{left( {x - y} ight)}^2} + {{left( {y - z} ight)}^2} + {{left( {z - x} ight)}^2}} ight])
Từ đó chứng tỏ:
a) Với ba số x, y, z không âm thì ({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} over 3} ge xyz)
b) Với ba số a, b, c không âm thì ({{a + b + c} over 3} ge oot 3 of {abc} ) (Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm).
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau.
Gợi ý làm bài
Ta có:
({1 over 2}left( {x + y + z} ight)left[ {{{left( {x - y} ight)}^2} + {{left( {y - z} ight)}^2} + {{left( {z - x} ight)}^2}} ight])
( = {1 over 2}left( {x + y + z} ight)left[ {left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} ight) + left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} ight) + left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} ight)} ight])
( = {1 over 2}left( {x + y + z} ight)left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {z^2} - 2zx + {x^2}} ight))
( = {1 over 2}left( {x + y + z} ight)left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx} ight))
( = left( {x + y + z} ight)left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} ight))
( = {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z)
( + {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz)
( + {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2})
( = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thưc được chứng minh.
a) Nếu (x ge 0,y ge 0,z ge 0) thì:
(x + y + z ge 0)
({left( {x - y} ight)^2} + {left( {y - z} ight)^2} + {left( {z - z} ight)^2} ge 0)
Suy ra:
(eqalign{
& {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz ge 0 cr
& Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} ge 3xyz cr} )
Hay: ({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} over 3} ge xyz)
b) Nếu (a ge 0,b ge 0,c ge 0$ thì $ oot 3 of a ge 0, oot 3 of b ge 0, oot 3 of {c ge 0} )
Đặt (x = oot 3 of a ,y = oot 3 of b ,z = oot 3 of c ) thì x, y, z cũng không âm.
Từ chứng minh trên, ta có: ({{{x^3} + {y^3} + {z^3}} over 3} ge xyz)
Hay:
(eqalign{
& {{{{left( {
oot 3 of a }
ight)}^3} + {{left( {
oot 3 of b }
ight)}^3} + {{left( {
oot 3 of c }
ight)}^3}} over 3} ge left( {
oot 3 of a }
ight)left( {
oot 3 of b }
ight)left( {
oot 3 of c }
ight) cr
& Leftrightarrow {{a + b + c} over 3} ge
oot 3 of {abc} cr} )
Sachbaitap.com
