Câu 8 trang 90 SGK Giải tích 12: Giải các bất phương trình...

Bài 8. Giải các bất phương trình

a) ({2^{2x – 1}} + { m{ }}2{x^{2x – 2}} + { m{ }}{2^{2x – 3}} ge { m{ }}448)

b) ({left( {0,4} ight)^x}-{ m{ }}{left( {2,5} ight)^{x + 1}} > { m{ }}1,5)

c) ({log _3}left[ {{{log }_{{1 over 2}}}({x^2} – 1)} ight] < 1)

d) ({log _{0,2}}^2x – 5{log _{0,2}}x <  – 6)

Giải

a) ({2^{2x – 1}} + { m{ }}2{x^{2x – 2}} + { m{ }}{2^{2x – 3}} ge { m{ }}448)

Ta có:

(⇔ {2^{2x – 3}}({2^2} + { m{ }}{2^1} + { m{ }}1){ m{ }} ge { m{ }}448)

(⇔ {2^{2x – 3}} ge { m{ }}64{ m{ }} Leftrightarrow { m{ }}2x{ m{ }}-{ m{ }}3{ m{ }} ge { m{ }}6)

(⇔ x ≥ 4,5)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: ([4,5; +∞)).

b) ({left( {0,4} ight)^x}-{ m{ }}{left( {2,5} ight)^{x + 1}} > { m{ }}1,5)

Đặt (t = {(0,4)}^x> 0), bất phương trình đã cho trở thành:

(eqalign{
& t – {{2,5} over t} > 1,5 Leftrightarrow 2{t^2} – 3t – 5 > 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
t < – 1 hfill cr
t > 2,5 hfill cr} ight. cr} )

Do (t = {(0,4)}^x> 0), bất phương trình đã cho tương đương với:

({left( {0,4} ight)^x} > { m{ }}2,5{ m{ }} Leftrightarrow { m{ }}{left( {0,4} ight)^x} > { m{ }}{left( {0,4} ight)^{ – 1}} Leftrightarrow { m{ }}x{ m{ }} < { m{ }} – 1)

c) ({log _3}left[ {{{log }_{{1 over 2}}}({x^2} – 1)} ight] < 1)

Ta có:

({log _3}left[ {{{log }_{{1 over 2}}}({x^2} – 1)} ight] < 1 )
( Leftrightarrow {log _3}left[ {{{log }_{{1 over 2}}}({x^2} – 1)} ight] < {log _3}3)

(Leftrightarrow left{ matrix{
{log _{{1 over 2}}}({x^2} – 1) > 0 = {log _{{1 over 2}}}1 hfill cr
lo{g_{{1 over 2}}}({x^2} – 1) > 3 = {log _{{1 over 2}}}{1 over 8} hfill cr} ight. )
( Leftrightarrow left{ matrix{
0 < {x^2} – 1 < 1 hfill cr
{x^2} – 1 > {1 over 8} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{x^2} < 2 hfill cr
{x^2} > {9 over 8} hfill cr} ight. )
(Leftrightarrow left{ matrix{
|x| < sqrt 2 hfill cr
|x| > {3 over {2sqrt 2 }} hfill cr} ight. Leftrightarrow {3 over {2sqrt 2 }} < |x|<sqrt 2 )

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: (left{ {x in R:{3 over {2sqrt {2 < } }}<|x| < sqrt 2 } ight})

d) ({log _{0,2}}^2x – 5{log _{0,2}}x <  – 6)

Đặt (t{ m{ }} = { m{ }}lo{g_{0,2}}x). Bất phương trình trở thành

({t^2}-{ m{ }}5t{ m{ }} + { m{ }}6{ m{ }} < { m{ }}0{ m{ }} Leftrightarrow { m{ }}2{ m{ }} < { m{ }}t{ m{ }} < { m{ }}3)

Suy ra: (1) ⇔ 

(eqalign{
& 2 < {log _{0,2}}x < 3 Leftrightarrow {(0,2)^3} < x < {(0,2)^2} cr
& Leftrightarrow {1 over {125}} < x < {1 over {25}} cr})               

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (({1 over {125}},{1 over {25}}))