Câu 70 trang 168 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của...

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) tại A. Dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng:

a)      AB ⊥ KB;

b)      Bốn điểm A, C, E, D nằm trên cùng một đường tròn.

Giải:

a) Gọi H là giao điểm của AB và OO’.

Vì OO’ là đường trung trực của AB nên OO’ ⊥ AB tại H

Ta có: HA = HB

I là trung điểm của OO’ nên IH ⊥ AB      (1)

Trong tam giác ABK, ta có:

HA = HB (chứng minh trên)

IA =  IK (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra IH là đường trung bình của tam giác ABK

Suy ra IH // BK                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB ⊥KB

b) Vì  AB ⊥ KB nên AE ⊥ KB

Lại có: AB = BE ( tính chất đối xứng tâm)

Suy ra: KA = KE ( tính chất đường trung trực)       (3)

Ta có:  IO = IO’ (gt)

IA = IK ( chứng minh trên)

Tứ giác AOKO’ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Suy ra: OK // O’A và OA // O’K

CA ⊥ O’A (vì CA là tiếp tuyến của đườngg tròn (O’))

OK // O’A ( chứng minh trên)

Suy ra: OK ⊥ AC

Khi đó OK là đường trung trực của AC

Suy ra: KA = KC ( tính chất đường trung trực)         (4)

DA ⊥ OA ( vì DA là tiếp tuyến của đường tròn (O))

O’K // OA ( chứng minh trên)

Suy ra: O’K  ⊥ DA

Khi đó O’K là đường trung trực của AD

Suy ra: KA = KD ( tính chất đường trung trực)       (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: KA = KC = KE = KD

Vậy bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn.