Câu 7 trang 62 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm n điểm. Hỏi :...

Bài 7. Trong mặt phẳng cho một tập hợp (P) gồm (n) điểm. Hỏi :

a. Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ?

b. Có bao nhiêu vecto khác vecto (overrightarrow 0 ) mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P ?

Giải:

a. Giả sử (P{ m{ }} = { m{ }}{ {A_1};{ m{ }}{A_2};{ m{ }}{A_3};{ m{ }} ldots ;{ m{ }}{A_n}} ). Với mỗi tập con ({ {A_1};{ m{ }}{A_2}} { m{ }}left( {i{ m{ }} e { m{ }}j} ight)), ta tạo được đoạn thẳng ({A_i}{A_j}). Ngược lại, mỗi đoạn thẳng với hai đầu mút là hai điểm ({A_i},{ m{ }}{A_j}) tương ứng với tập con ({ {A_i},{ m{ }}{A_j}} ). Thứ tự hai đầu mút không quan trọng : Đoạn thẳng ({A_i}{A_j}) và đoạn thẳng ({A_j}{A_i}) chỉ là một đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng mà hai đầu mút là hai điểm thuộc (P) chính bằng số tổ hợp chập 2 của (n) phần tử, tức là bằng  (C_n^2 = {{nleft( {n – 1} ight)} over 2}.)

b. Với mỗi bộ hai điểm có sắp thứ tự (({A_i},{ m{ }}{A_j}) (i ≠ j)) ta tạo được một vecto (overrightarrow {{A_i}{A_j}} ) ứng với một bộ hai điểm có sắp thứ tự (({A_i},{ m{ }}{A_j})), (A_i) là điểm gốc, (A_j) là điểm ngọn. Thứ tự hai điểm ở đây quan trọng vì (overrightarrow {{A_i}{A_j}} ,và ,overrightarrow {{A_j}{A_i}} ) là hai vecto khác nhau. Do đó số vecto cần tìm bằng số chỉnh hợp chập (2) của (n) phần tử, tức là bằng  (A_n^2 = nleft( {n – 1} ight).)