Câu 66 trang 41 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức

Chú ý rằng nếu c > 0 thì ({left( {a + b} ight)^2} + c) và ({left( {a - b} ight)^2} + c) đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng :

a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức

({{x + 2} over {x - 1}}.left( {{{{x^3}} over {2x + 2}} + 1} ight) - {{8x + 7} over {2{x^2} - 2}}) luôn luôn có giá trị dương;

b. Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3 , biểu thức :

({{1 - {x^2}} over x}.left( {{{{x^2}} over {x + 3}} - 1} ight) + {{3{x^2} - 14x + 3} over {{x^2} + 3x}}) luôn luôn có giá trị âm.

Giải:

a. ({{x + 2} over {x - 1}}.left( {{{{x^3}} over {2x + 2}} + 1} ight) - {{8x + 7} over {2{x^2} - 2}}) điều kiện (x e 1) và (x e  - 1)

(eqalign{  &  = {{x + 2} over {x - 1}}.{{{x^3} + 2x + 2} over {2left( {x + 1} ight)}} - {{8x + 7} over {2left( {{x^2} - 1} ight)}}  cr  &  = {{left( {x + 2} ight)left( {{x^3} + 2x + 2} ight)} over {2left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}} - {{8x + 7} over {2left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}}  cr  &  = {{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 - 8x - 7} over {2left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}}  cr  &  = {{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - 2x - 3} over {2left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}} = {{{x^4} - {x^2} + 2{x^3} - 2x + 3{x^2} - 3} over {2left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}}  cr  &  = {{{x^2}left( {{x^2} - 1} ight) + 2xleft( {{x^2} - 1} ight) + 3left( {{x^2} - 1} ight)} over {2left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}} = {{left( {{x^2} - 1} ight)left( {{x^2} + 2x + 3} ight)} over {2left( {{x^2} - 1} ight)}}  cr  &  = {{{x^2} + 2x + 3} over 2} cr} )

Biểu thức dương khi ({x^2} + 2x + 3 > 0) ta có : ({x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2 = {left( {x + 1} ight)^2} + 3 > 0) với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị (x e  - 1) và (x e 1)

b. ({{1 - {x^2}} over x}.left( {{{{x^2}} over {x + 3}} - 1} ight) + {{3{x^2} - 14x + 3} over {{x^2} + 3x}}) điều kiện (x e 0) và (x e  - 3)

(eqalign{  &  = {{1 - {x^2}} over x}.{{{x^2} - left( {x + 3} ight)} over {x + 3}} + {{3{x^2} - 14x + 3} over {xleft( {x + 3} ight)}} = {{left( {1 - {x^2}} ight)left( {{x^2} - x - 3} ight)} over {xleft( {x + 3} ight)}} + {{3{x^2} - 14x + 3} over {xleft( {x + 3} ight)}}  cr  &  = {{{x^2} - x - 3 - {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} - 14x + 3} over {xleft( {x + 3} ight)}}  cr  &  = {{ - {x^4} + {x^3} + 7{x^2} - 15x} over {xleft( {x + 3} ight)}} = {{xleft( { - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} ight)} over {xleft( {x + 3} ight)}}  cr  &  = {{ - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} over {x + 3}} = {{ - {x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 12x - 5x - 15} over {x + 3}}  cr  &  = {{ - {x^2}left( {x + 3} ight) + 4xleft( {x + 3} ight) - 5left( {x + 3} ight)} over {x + 3}} = {{left( {x + 3} ight)left( { - {x^2} + 4x - 5} ight)} over {x - 3}}  cr  &  =  - {x^2} + 4x - 5 =  - left( {{x^2} - 4x + 5} ight) cr} )

Vì ({x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 + 1 = {left( {x - 2} ight)^2} + 1 > 0) với mọi giá trị của x

nên ( - left[ {{{left( {x + 2} ight)}^2} + 1} ight] < 0) với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị (x e 0)và (x e  - 3)