Câu 67 trang 42 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức

Chú ý rằng vì ({left( {x + a} ight)^2} ge 0) với mọi giá trị của x và ({left( {x + a} ight)^2} = 0) khi (x =  - a) nên ({left( {x + a} ight)^2} + b ge b) với mọi giá trị của x và ({left( {x + a} ight)^2} + b = b) khi(x =  - a). Do đó giá trị nhỏ nhất của ({left( {x + a} ight)^2} + b) bằng b khi(x =  - a). Áp dụng điều này giải các bài tập sau :

a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức

({{{x^2}} over {x - 2}}.left( {{{{x^2} + 4} over x} - 4} ight) + 3) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

b. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức

({{{{left( {x + 2} ight)}^2}} over x}.left( {1 - {{{x^2}} over {x + 2}}} ight) - {{{x^2} + 6x + 4} over x}) có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.

Giải:

a. ({{{x^2}} over {x - 2}}.left( {{{{x^2} + 4} over x} - 4} ight) + 3) (điều kiện (x e 2) và (x e 0) )

(eqalign{  &  = {{{x^2}} over {x - 2}}.{{{x^2} + 4 - 4x} over x} + 3 = {{{x^2}} over {x - 2}}.{{{{left( {x - 2} ight)}^2}} over x} + 3  cr  &  = xleft( {x - 2} ight) + 3 = {x^2} - 2x + 1 + 2 = {left( {x - 1} ight)^2} + 2 cr} )

Ta có: ({left( {x - 1} ight)^2} ge 0 Rightarrow {left( {x - 1} ight)^2} + 2 ge 2) với mọi giá trị của x

nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi (x = 1)

(x = 1) thỏa mãn điều kiện

Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại (x = 1)

b. ({{{{left( {x + 2} ight)}^2}} over x}.left( {1 - {{{x^2}} over {x + 2}}} ight) - {{{x^2} + 6x + 4} over x}) (điều kiện (x e 0) và(x e  - 2))

(eqalign{  &  = {{{{left( {x + 2} ight)}^2}} over x}.{{x + 2 - {x^2}} over {x + 2}} - {{{x^2} + 6x + 4} over x} = {{left( {x + 2} ight)left( {x + 2 - {x^2}} ight)} over x} - {{{x^2} + 6x + 4} over x}  cr  &  = {{{x^2} + 2x - {x^3} + 2x + 4 - 2{x^2} - {x^2} - 6x - 4} over x} = {{ - {x^3} - 2{x^2} - 2x} over x}  cr  &  = {{ - xleft( {{x^2} + 2x + 2} ight)} over x} =  - left( {{x^2} + 2x + 2} ight) =  - left[ {left( {{x^2} + 2x + 1} ight) + 1} ight]  cr  &  =  - left[ {{{left( {x + 1} ight)}^2} + 1} ight] =  - {left( {x + 1} ight)^2} - 1  cr  & {left( {x + 1} ight)^2} ge 0 Rightarrow  - {left( {x + 1} ight)^2} le 0 Rightarrow  - {left( {x + 1} ight)^2} - 1 le  - 1 cr} )

nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng – 1 khi x = - 1

x = - 1 thỏa mãn điều kiện.

Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng – 1 tại x = - 1