Câu 64 trang 41 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến :

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến :

a. ({{x - {1 over x}} over {{{{x^2} + 2x + 1} over x} - {{2x + 2} over x}}})

b. ({{{x over {x + 1}} + {1 over {x - 1}}} over {{{2x + 2} over {x - 1}} - {{4x} over {{x^2} - 1}}}})

c. ({1 over {x - 1}} - {{{x^3} - x} over {{x^2} + 1}}.left( {{x over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 over {{x^2} - 1}}} ight))

d. (left( {{x over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} over {{x^2} + 6x}}} ight):{{2x - 6} over {{x^2} + 6x}} + {x over {6 - x}})

Giải:

a.  ({{x - {1 over x}} over {{{{x^2} + 2x + 1} over x} - {{2x + 2} over x}}})

Ta có: (x - {1 over x}) xác định khi x ≠ 0

({{{x^2} + 2x + 1} over x} - {{2x + 2} over x}) xác định khi x ≠ 0

(eqalign{  & {{{x^2} + 2x + 1} over x} - {{2x + 2} over x} e 0 Rightarrow {{{x^2} - 1} over x} e 0 Rightarrow {x^2} - 1 e 0  cr  &  Rightarrow left( {x + 1} ight)left( {x - 1} ight) e 0 Rightarrow x e  - 1;x e 1 cr} )

Vậy với x ≠ 0, x ≠ 1 và x ≠ -1 thì biểu thức xác định.

({{x - {1 over x}} over {{{{x^2} + 2x + 1} over x} - {{2x + 2} over x}}})( = {{{{{x^2} - 1} over x}} over {{{{x^2} - 1} over x}}} = {{{x^2} - 1} over x}.{x over {{x^2} - 1}} = 1)

b.  ({{{x over {x + 1}} + {1 over {x - 1}}} over {{{2x + 2} over {x - 1}} - {{4x} over {{x^2} - 1}}}})

Ta có: ({x over {x + 1}} + {1 over {x - 1}}) xác định khi x + 1 ≠ 0 và x – 1 ≠ 0 ⇒ (x e  pm 1)

({{2x + 2} over {x - 1}} - {{4x} over {{x^2} - 1}}) xác định khi x – 1 ≠ 0 và ({x^2} - 1 e 0 Rightarrow x e  pm 1)

({{2x + 2} over {x - 1}} - {{4x} over {{x^2} - 1}} e 0 Rightarrow {{left( {2x + 2} ight)left( {x + 1} ight) - 4x} over {left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}} e 0)

( Rightarrow {{2{x^2} + 2x + 2x + 2 - 4x} over {left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}} e 0 Rightarrow {{2{x^2} + 2} over {left( {x + 1} ight)left( {x - 1} ight)}} e 0) mọi x

Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 1 và x ≠ -1

({{{x over {x + 1}} + {1 over {x - 1}}} over {{{2x + 2} over {x - 1}} - {{4x} over {{x^2} - 1}}}})( = {{{{xleft( {x - 1} ight) + left( {x + 1} ight)} over {left( {x + 1} ight)left( {x - 1} ight)}}} over {{{2{x^2} + 2} over {left( {x + 1} ight)left( {x - 1} ight)}}}} = {{{x^2} + 1} over {left( {x + 1} ight)left( {x - 1} ight)}}.{{left( {x + 1} ight)left( {x - 1} ight)} over {2left( {{x^2} + 1} ight)}} = {1 over 2})

c. ({1 over {x - 1}} - {{{x^3} - x} over {{x^2} + 1}}.left( {{x over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 over {{x^2} - 1}}} ight))

Biểu thức xác định khi x – 1 ≠ 0, ({x^2} - 2x + 1 e 0)và ({x^2} - 1 e 0)

(eqalign{  & x - 1 e 0 Rightarrow x e 1  cr  & {x^2} - 2x + 1 e 0 Rightarrow {left( {x - 1} ight)^2} e 0 Rightarrow x e 1  cr  & {x^2} - 1 e 0 Rightarrow left( {x + 1} ight)left( {x - 1} ight) e 0 Rightarrow x e  - 1;x e 1 cr} )

Vậy biểu thức xác định với x ≠ -1 và x ≠ 1

Ta có: ({1 over {x - 1}} - {{{x^3} - x} over {{x^2} + 1}}.left( {{x over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 over {{x^2} - 1}}} ight))

(eqalign{  &  = {1 over {x - 1}} - {{xleft( {{x^2} - 1} ight)} over {{x^2} + 1}}.left[ {{x over {{{left( {x - 1} ight)}^2}}} - {1 over {left( {x + 1} ight)left( {x - 1} ight)}}} ight]  cr  &  = {1 over {x - 1}} - {{xleft( {x + 1} ight)left( {x - 1} ight)} over {{x^2} + 1}}.{{xleft( {x + 1} ight) - left( {x - 1} ight)} over {left( {x + 1} ight){{left( {x - 1} ight)}^2}}}  cr  &  = {1 over {x - 1}} - {{xleft( {{x^2} + x - x + 1} ight)} over {left( {{x^2} + 1} ight)left( {x - 1} ight)}} = {1 over {x - 1}} - {{xleft( {{x^2} + 1} ight)} over {left( {{x^2} + 1} ight)left( {x - 1} ight)}} = {1 over {x - 1}} - {x over {x - 1}}  cr  &  = {{ - left( {x - 1} ight)} over {x - 1}} =  - 1 cr} )

d. (left( {{x over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} over {{x^2} + 6x}}} ight):{{2x - 6} over {{x^2} + 6x}} + {x over {6 - x}})

Biểu thức xác định khi

(eqalign{  & {x^2} - 36 e 0,{x^2} + 6x e 0,6 - x e 0,2x - 6 e 0  cr  & {x^2} - 36 e 0 Rightarrow left( {x - 6} ight)left( {x + 6} ight) e 0 Rightarrow x e 6;x e  - 6  cr  & {x^2} + 6x e 0 Rightarrow xleft( {x + 6} ight) e 0 Rightarrow x e 0;x e  - 6  cr  & 6 - x e 0 Rightarrow x e 6  cr  & 2x - 6 e 0 Rightarrow x e 3 cr} )

Vậy x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 6 và x ≠ -6 thì biểu thức xác định.

Ta có : (left( {{x over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} over {{x^2} + 6x}}} ight):{{2x - 6} over {{x^2} + 6x}} + {x over {6 - x}})

(eqalign{  &  = left[ {{x over {left( {x + 6} ight)left( {x - 6} ight)}} - {{x - 6} over {xleft( {x + 6} ight)}}} ight]:{{2x - 6} over {xleft( {x + 6} ight)}} + {x over {6 - x}}  cr  &  = {{{x^2} - {{left( {x - 6} ight)}^2}} over {xleft( {x + 6} ight)left( {x - 6} ight)}}.{{xleft( {x + 6} ight)} over {2left( {x - 3} ight)}} + {x over {6 - x}} = {{{x^2} - {x^2} + 12x - 36} over {xleft( {x + 6} ight)left( {x - 6} ight)}}.{{xleft( {x + 6} ight)} over {2left( {x - 3} ight)}} + {x over {6 - x}}  cr  &  = {{12left( {x - 3} ight)} over {x - 6}}.{1 over {2left( {x - 3} ight)}} + {x over {6 - x}} = {6 over {x - 6}} - {x over {x - 6}} = {{ - left( {x - 6} ight)} over {x - 6}} =  - 1 cr} )