Câu 62* trang 166 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB).

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa hình tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng:

a)      MN ⊥ AB;

b)      MN = NH.

Giải:

a) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Trong tam giác BND, ta có: AC // BD

Suy ra: ({{ND} over {NA}} = {{BD} over {AC}}) (Hệ quả định lí Ta-lét)      (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CM và BD = DM          (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ({{ND} over {NA}} = {{MD} over {MC}})

Trong tam giác ACD, ta có: ({{ND} over {NA}} = {{MD} over {MC}})

Suy ra: MN // AC ( Theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: AC ⊥ AB (vì Ax ⊥ AB)

Suy ra: MN ⊥ AB

b) Trong tam giác ACD, ta có: MN // AC

Suy ra: ({{MN} over {AC}} = {{DN} over {DA}}) (Hệ quả định lí Ta-lét)     (3)

Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC ( vì M, N, H thẳng hàng)

Suy ra: ({{HN} over {AC}} = {{BN} over {BC}}) (Hệ quả định lí Ta-lét)       (4)

Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD

Suy ra: ({{ND} over {NA}} = {{BN} over {NC}}) (Hệ quả định lí Ta-lét)

( Rightarrow {{ND} over {DN + NA}} = {{BN} over {BN + NC}} Leftrightarrow {{ND} over {DA}} = {{BN} over {BC}})           (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: ({{MN} over {AC}} = {{HN} over {AC}} Rightarrow MN = HN).

Sachbaitap.com