Câu 59 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau : ...
Tìm các giới hạn sau :
Tìm các giới hạn sau :
a. (mathop {lim }limits_{x o - 2} oot 3 of {{{2{x^4} + 3x + 1} over {{x^2} - x + 2}}} )
b. (mathop {lim }limits_{x o - infty } {{sqrt {{x^2} - x + 5} } over {2x - 1}})
c. (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 3} ight)}^ - }} {{{x^4} + 1} over {{x^2} + 4x + 3}})
d. (mathop {lim }limits_{x o 2} {3 over {{{left( {x - 2} ight)}^2}}}sqrt {{{x + 4} over {4 - x}}} )
e. (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 2} ight)}^ + }} {{sqrt {8 + 2x} - 2} over {sqrt {x + 2} }})
f. (mathop {lim }limits_{x o - infty } left( {sqrt {{x^2} + x} - sqrt {4 + {x^2}} } ight))
Giải:
a. (mathop {lim }limits_{x o - 2} oot 3 of {{{2{x^4} + 3x + 1} over {{x^2} - x + 2}}} = oot 3 of {{{32 - 6 + 1} over {4 + 2 + 2}}} = oot 3 of {{{27} over 8}} = {3 over 2})
b.
(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o - infty } {{sqrt {{x^2} - x + 5} } over {2x - 1}} = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{left| x
ight|sqrt {1 - {1 over x} + {5 over {{x^2}}}} } over {xleft( {2 - {1 over x}}
ight)}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{ - sqrt {1 - {1 over x} + {5 over {{x^2}}}} } over {2 - {1 over x}}} = - {1 over 2} cr} )
c. Với mọi x < -3, ta có: ({{{x^4} + 1} over {{x^2} + 4x + 3}} = {{{x^4} + 1} over {x + 1}}.{1 over {x + 3}})
(eqalign{& mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 3} ight)}^ - }} {{{x^4} + 1} over {x + 1}} = {{82} over { - 2}} = - 41 < 0,cr& ext{ và },mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 3} ight)}^ - }} {1 over {x + 3}} = - infty cr & ext{ nên },mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 3} ight)}^ - }} {{{x^4} + 1} over {{x^2} + 4x + 3}} = + infty cr} )
d.
(eqalign{
& ext{ Vì },mathop {lim }limits_{x o 2} {3 over {{{left( {x - 2}
ight)}^2}}} = + infty cr& ext{ và},mathop {lim }limits_{x o 2} sqrt {{{x + 4} over {4 - x}}} = sqrt {{6 over 2}} = sqrt 3 > 0 cr
& ext{ nên },mathop {lim }limits_{x o 2} {3 over {{{left( {x - 2}
ight)}^2}}}sqrt {{{x + 4} over {4 - x}}} = + infty cr} )
e. Nhân tử và mẫu của phân thức với (sqrt {8 + 2x} + 2,) ta được :
(eqalign{
& {{sqrt {8 + 2x} - 2} over {sqrt {x + 2} }} = {{8 + 2x - 4} over {sqrt {x + 2} left( {sqrt {8 + 2x} + 2}
ight)}} cr
& = {{2left( {x + 2}
ight)} over {sqrt {x + 2} left( {sqrt {8 + 2x} + 2}
ight)}} = {{2sqrt {x + 2} } over {sqrt {8 + 2x} + 2}} cr
& forall x > - 2 cr} )
Do đó (mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 2} ight)}^ + }} {{sqrt {8 + 2x} - 2} over {sqrt {x + 2} }} = mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 2} ight)}^ + }} {{2sqrt {x + 2} } over {sqrt {8 + 2x }+ 2 }} = {0 over 4} = 0)
f.
(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o - infty } left( {sqrt {{x^2} + x} - sqrt {4 + {x^2}} }
ight) cr&= mathop {lim }limits_{x o - infty } {{{x^2} + x - 4 - {x^2}} over {sqrt {{x^2} + x} + sqrt {4 + {x^2}} }} cr
& = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{x - 4} over {left| x
ight|sqrt {1 + {1 over x}} + left| x
ight|sqrt {{4 over {{x^2}}} + 1} }} cr&= mathop {lim }limits_{x o - infty } {{xleft( {1 - {4 over x}}
ight)} over { - xleft( {sqrt {1 + {1 over x}} + sqrt {{4 over {{x^2}}} + 1} }
ight)}} cr
& = - mathop {lim }limits_{x o - infty } {{1 - {4 over x}} over {sqrt {1 + {1 over x}} + sqrt {1 + {4 over {{x^2}}}} }} = - {1 over 2} cr} )
soanbailop6.com
