Câu 53 trang 166 SBT Toán 8 tập 1: Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường...

Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thẳng (l) cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b. Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng (l) theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo)

Giải:                                                                     

Gọi h₁ và h₂  là khoảng cách từ đỉnh B và đỉnh A đến đường thẳng(l);

Tổng khoảng cách là S. Vì O là tâm đối xứng của hình vuông.

⇒ OM = ON (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra: AM = CN

(widehat {AMP} = widehat {DNS}) (đồng vị)

(widehat {DNS} = widehat {CNR}) (đối đỉnh)

( Rightarrow widehat {AMP} = widehat {CNR})

Suy ra: ∆ APM = ∆ CRN (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ CR = AP = h₂

AM = CD ⇒ BM = DN

(widehat {BMQ} = widehat {DNS}) (so le trong)

Suy ra: ∆ BQM = ∆ DSN (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ DS = BQ = h₁

(eqalign{  & {S_{BOA}} = {1 over 4}{S_{AOB}} = {1 over 4}{a^2}(1)  cr  & {S_{BOA}} = {S_{BOM}} + {S_{AOM}} = {1 over 2}{b over 2}.{h_1} + {1 over 2}{b over 2}.{h_2} = {b over 4}left( {{h_1} + {h_2}} ight)(2) cr} )

Từ (1) và (2): ${h_1} + {h_2} = {{{a^2}} over b})

(S = 2left( {{h_1} + {h_2}} ight) = {{2{a^2}} over b})