Câu 5 trang 120 SGK Hình 11 Nâng cao: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau...
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao – Bài tập ôn tập chương III Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính ...
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính diện tích các tam giác HAB, HBC và HCA.
Giải
Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và H là hình chiếu của O trên mp(ABC) nên H là trực tâm tam giác ABC. Từ đó HC1 ⊥ AB (C1 là giao điểm của CH và AB), suy ra OC1 ⊥ AB. Như vậy (widehat {O{C_1}H}) là góc giữa mp(OAB) và mp(ABC).
Ta có: ({S_{HAB}} = {S_{OAB}}cos widehat {O{C_1}H})
Mà (widehat {O{C_1}H} = widehat {HOC}) nên ({S_{HAB}} = {S_{OAB}}cos widehat {HOC}.)
Ta lại có : (cos widehat {HOC} = {{OH} over {OC}},{1 over {O{H^2}}} = {1 over {O{A^2}}} + {1 over {O{B^2}}} + {1 over {O{C^2}}})
Từ đó : (cos widehat {HOC} = {{ab} over {sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }})
Mặt khác ({S_{OAB}} = {1 over 2}ab)
Vậy ({S_{HAB}} = {{{a^2}{b^2}} over {2sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }})
Tương tự như trên, ta có :
(eqalign{ & {S_{HBC}} = {{{b^2}{c^2}} over {2sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }} cr & {S_{HAC}} = {{{c^2}{a^2}} over {2sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }} cr} )
