Câu 46 trang 59 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB // CD). Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B và C.

46. Trang 59 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB // CD). Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B và C.

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song song với mp(SAB). Thiết diện là hình gì?

b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của mp(P) với SD và SC. Chứng minh rằng giao điểm I của NE và MF chạy trên một đường thẳng cố định.

Giải

(h.99)

a) (left. matrix{
left( P ight)//left( {SAB} ight) hfill cr
left( P ight) cap left( {ABCD} ight) = MN hfill cr
left( {SAB} ight) cap left( {ABCD} ight) = AB hfill cr} ight} Rightarrow MN//AB,,(1))

(left. matrix{
left( P ight)//left( {SAB} ight) hfill cr
left( P ight) cap left( {SBC} ight) = MF hfill cr
left( {SAB} ight) cap left( {SBC} ight) = SB hfill cr} ight} Rightarrow MF//SB,,(2))

(left. matrix{
left( P ight)//left( {SAB} ight) hfill cr
left( P ight) cap left( {SAD} ight) = NE hfill cr
left( {SAB} ight) cap left( {SAD} ight) = SA hfill cr} ight} Rightarrow NE//SA,,(3))

(left. matrix{
left( P ight)//CD hfill cr
CD subset left( {SCD} ight) hfill cr
left( P ight) cap left( {SCD} ight){ m{ = EF}} hfill cr} ight} Rightarrow EF//CD,,(4))

Các điểm N, E, F được xác định bởi (1), (2), (3), (4) là giao điểm của (P) với AD, SD, SC có tính chất EF // MN. Vậy thiết diện là hình thang MNEF.

b) Xét ba mặt phẳng (P), (SAD), (SBC). Ta có:

(eqalign{
& left( P ight) cap left( {SAD} ight) = NE cr
& left( P ight) subset left( {SBC} ight) = MF cr
& left( {SAD} ight) cap left( {SBC} ight){ m{ = }}Delta cr} )

Vậy ba đường thẳng NE, MF, (Delta ) đồng quy tại I (I là giao điểm của NE và MF). Từ đó, điểm I chạy trên đường thẳng (Delta ) cố định.

zaidap.com