Câu 45* trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:

a)      Điểm E nằm trên đường tròn(O);

b)      DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải:

a) Gọi O là trung điểm của AH

Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên:

( EO = OA = OH ={{AH} over 2}) (tính chất tam giác vuông)

Vậy điểm E nằm trên đường tròn (left( {O;{{AH} over 2}} ight))

b) Ta có: OH = OE

suy ra tam giác OHE cân tại O

suy ra: (widehat {OEH} = widehat {OHE})                      (1)

Mà (widehat {BHD} = widehat {OHE}) (đối đỉnh)            (2)

Trong tam giác BDH ta có:

(widehat {HDB} = 90^circ )

Suy ra: (widehat {HBD} + widehat {BHD} = 90^circ )            (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

(widehat {OEH} + widehat {HBD} = 90^circ )                          (4)

Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD

Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:

(ED = BD = {{BC} over 2}) (tính chất tam giác vuông).

Suy ra tam giác BDE cân tại D

Suy ra: (widehat {BDE} = widehat {DEB})                               (5)

Từ (4) và (5) suy ra: (widehat {OEH} + widehat {DEB} = 90^circ ) hay (widehat {DEO} = 90^circ )

Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn ((O).

Sachbaitap.com