Câu 43 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Hình thang ABCD có AB // CD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh A và D cắt nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại N.

Hình thang ABCD có AB // CD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh A và D cắt nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại N.

a) Chứng ninh rằng MN // CD.

b) Tính độ dài MN theo a, b, c, d (a, b, c, d có cùng đơn vị đo)

Giải:

a) Gọi M’ và N’ là giao điểm của tia AM và BN với CD. Ta có:

(widehat {M'} = {widehat A_2}) (so le trong)

({widehat A_1} = {widehat A_2}) (gt)

Suy ra: (widehat {M'} = {widehat A_1}) 

Nên ∆ ADM’ cân tại D

DM là phân giác của (widehat {ADM'}) 

Suy ra: DM là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

⇒ AM = MM’

(widehat {N'} = {widehat B_2}) (so le trong)

({widehat B_1} = {widehat B_2}) (gt)

Suy ra: (widehat {N'} = {widehat B_1}) nên ∆ BCN’ cân tại C

CN là phân giác của (widehat {BCN'})

Suy ra: CN là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

⇒ BN = NN’

Suy ra: MN là đường trung bình của hình thang ABN’M’

⇒ MN // M’N’ (tính chất đường trung bình hình thang)

Hay MN // CD

b) (MN = {{AB + M'N'} over 2}) (tính chất đường trung bình của hình thang)

( Rightarrow MN = {{AB + M'D + CD + CN'} over 2},,,,,,,,,,left( 1 ight))

Mà M’D = AD, CN’ = BC. Thay vào (1):

(MN = {{AB + AD + CD + BC} over 2} = {{a + d + c + b} over 2})

Sachbaitap.com