Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có : ...
Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có :
Chứng minh rằng với mọi (n ≥ 1), ta có :
a. Nếu (fleft( x ight) = frac{1}{x}, ext{ thì },{f^{left( n ight)}}left( x ight) = frac{{{{left( { - 1} ight)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}})
b. Nếu (fleft( x ight) = cos x, ext{ thì },{f^{left( {4n} ight)}}left( x ight) = cos x.)
c. Nếu (fleft( x ight) = sin ax) (a là hằng số) thì ({f^{left( {4n} ight)}}left( x ight) = {a^{4n}}sin ax.)
Giải
a. Cho (fleft( x ight) = frac{1}{x}left( {x e 0} ight).) Ta hãy chứng minh công thức :
({f^{left( n ight)}}left( x ight) = frac{{{{left( { - 1} ight)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}left( {forall x ge 1} ight),,left( 1 ight)) bằng phương pháp qui nạp.
+ Với (n = 1), ta có : ({f^{left( n ight)}}left( x ight) = f'left( x ight) = - frac{1}{{{x^2}}}, ext{ và },frac{{{{left( { - 1} ight)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}} = - frac{1}{{{x^2}}})
Suy ra (1) đúng khi n = 1.
+ Giả sử (1) đúng cho trường hợp (n = k (k ≥ 1)), tức là : ({f^{left( k ight)}}left( x ight) = frac{{{{left( { - 1} ight)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}),
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp (n = k + 1), tức là :
({f^{left( {k + 1} ight)}}left( x ight) = frac{{{{left( { - 1} ight)}^{k + 1}}.left( {k + 1} ight)!}}{{{x^{k + 2}}}})
Thật vậy, ta có :
({f^{left( {k + 1} ight)}}left( x ight) = left[ {{f^{left( k ight)}}left( x ight)} ight]' = - frac{{{{left( { - 1} ight)}^k}k!.left( {k + 1} ight){x^k}}}{{{x^{2left( {k + 1} ight)}}}} = frac{{{{left( { - 1} ight)}^{k + 1}}.left( {k + 1} ight)!}}{{{x^{k + 2}}}})
b. Cho (f(x) = cos x). Ta hãy chứng minh công thức :
({f^{left( {4n} ight)}}left( x ight) = cos xleft( {forall n ge 1} ight),,left( 2 ight)) bằng phương pháp qui nạp.
Ta có: (f'left( x ight) = - sin x;f"left( x ight) = - cos x;)
(f'left( x ight) = sin x;{f^{left( 4 ight)}}left( x ight) = cos x)
+ Với n = 1 thì ({f^{left( {4n} ight)}}left( x ight) = {f^{left( 4 ight)}}left( x ight) = cos x)
Suy ra (2) đúng khi n = 1
+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp (n = k (k ≥ 1)), tức là : ({f^{left( {4k} ight)}}left( x ight) = cos x,)
Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp (n = k + 1), tức là phải chứng minh :
({f^{left( {4left( {k + 1} ight)} ight)}}left( x ight) = cos x,left( {hay,{f^{left( {4k + 4} ight)}}left( x ight) = cos x} ight))
Thật vậy, vì :
(egin{array}{l}
{f^{left( {4k}
ight)}}left( x
ight) = cos x, ext{ nên },{f^{left( {4k + 1}
ight)}}left( x
ight) = - sin x
{f^{left( {4k + 2}
ight)}}left( x
ight) = - cos x
{f^{left( {4k + 3}
ight)}}left( x
ight) = sin x
{f^{left( {4k + 4}
ight)}}left( x
ight) = cos x
end{array})
c. Ta có:
(egin{array}{l}
f'left( x
ight) = a{mathop{
m cosax}
olimits}
f"left( x
ight) = - {a^2}sin ax
{f^{left( 3
ight)}}left( x
ight) = - {a^3}cos ax
{f^{left( 4
ight)}}left( x
ight) = {a^4}sin ax
end{array})
Với (n = 1) ta có ({f^{left( 4 ight)}}left( x ight) = {a^4}sin ax,) đẳng thức đúng với (n = 1)
Giả sử đẳng thức đúng với (n = k) tức là : ({f^{left( {4k} ight)}}left( x ight) = {a^{4k}}sin ax)
Với (n = k + 1) ta có ({f^{left( {4k + 4} ight)}}left( x ight) = {left( {{f^{left( {4k} ight)}}} ight)^{left( 4 ight)}}left( x ight) = {left( {{a^{4k}}sin ax} ight)^{left( 4 ight)}})
Do ({f^{left( {4k} ight)}}left( x ight) = {a^{4k}}sin ax)
(egin{array}{l}
{f^{left( {4k + 1}
ight)}}left( x
ight) = {a^{4k + 1}}cos ax
{f^{left( {4k + 2}
ight)}}left( x
ight) = - {a^{4k + 2}}sin ax
{f^{left( {4k + 3}
ight)}}left( x
ight) = - {a^{4k + 3}}cos ax
{f^{left( {4k + 4}
ight)}}left( x
ight) = {a^{4k + 4}}sin ax
end{array})
Vậy đẳng thức đúng với (n = k + 1), do đó đẳng thức đúng với mọi n.
soanbailop6.com
