Câu 3.76 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số

Cho dãy số (({u_n})) mà tổng số n số hạng đầu tiên của nó ( kí hiệu là ({S_n})) được tính theo công thức sau:

                            ({S_n} = {{{3^n} - 1} over {{3^{n - 1}}}}.)

a) Hãy tính ({u_1},{u_2}) và ({u_3}.)

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (({u_n})).

c) Chứng minh rằng dãy số (({u_n})) là một cấp số nhân. Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.

Giải

a )Ta có ({u_1} = {S_1} = 2,)

({u_2} = left( {{u_1} + {u_2}} ight) - {u_1} = {S_2} - {u_1} = {S_2} - {S_1})

     (= {8 over 3} - 2 = {2 over 3})

({u_3} = left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} ight) - ({u_1} + {u_2}) = {S_3} - {S_2})

     (= {{26} over 9} - {8 over 3} = {2 over 9})

b) Đặt ({S_0} = 0), ta có ({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = {{{3^n} - 1} over {{3^{n - 1}}}} - {{{3^{n - 1}} - 1} over {{3^{n - 2}}}} = {2 over {{3^{n - 1}}}}left( {forall n ge 1} ight))

c) Ta có ({u_{n + 1}} = {2 over {{3^n}}} = {1 over 3} imes {2 over {{3^{n - 1}}}} = {1 over 3}{u_n},) với mọi (n ge 1.) Vì thế, dãy số (({u_n})) là một cấp số nhân với công bội bằng ({1 over 3}.)

Sachbaitap.com