Câu 29 trang 53 SBT Toán 8 tập 2: Cho a và b là các số dương, chứng tỏ:...

Cho a và b là các số dương, chứng tỏ:

({a over b} + {b over a} ge 2)

Giải:                                      

Ta có:

(eqalign{  & {left( {a – b} ight)^2} ge 0 Rightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab ge 0  cr  &  Rightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab + 2ab ge 2ab cr} )

( Rightarrow {a^2} + {b^2} ge 2ab)    (*)

(a > 0,b > 0 Rightarrow a.b > 0 Rightarrow {1 over {ab}} > 0)

Nhân hai vế của (*) với ({1 over {ab}}) ta có:

(eqalign{  & left( {{a^2} + {b^2}} ight).{1 over {ab}} ge 2ab.{1 over {ab}}  cr  &  Leftrightarrow {{{a^2}} over {ab}} + {{{b^2}} over {ab}} ge 2  cr  &  Leftrightarrow {a over b} + {b over a} ge 2 cr} )