Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Hãy chứng minh định lí 3....

Bài 26. Hãy chứng minh định lí 3.

Giải:

Ta sẽ chứng minh ({S_n} = {{nleft( {{u_1} + {u_n}} ight)} over 2}) (1)

+) Với mọi (n in mathbb N^*), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với (n = 1), ta có ({S_1} = {u_1} = {{1left( {{u_1} + {u_1}} ight)} over 2}.) Như vậy (1) đúng với (n = 1).

+) Giả sử (1) đúng khi (n = k, k  in mathbb N^*), tức là:

({S_k} = {{kleft( {{u_1} + {u_k}} ight)} over 2})

+) Ta chứng minh (1) đúng với (n=k+1)

(eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}} cr
& = {{kleft( {{u_1} + {u_k}} ight)} over 2} + {u_{k + 1}} cr
& = {{kleft( {{u_1} + {u_{k + 1}} – d} ight) + 2{u_{k + 1}}} over 2} cr
& = {{k{u_1} + left( {k + 1} ight){u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} – kd} over 2} cr
& = {{k{u_1} + left( {k + 1} ight){u_{k + 1}} + {u_1}} over 2} cr
& = {{left( {k + 1} ight)left( {{u_1} + {u_{k + 1}}} ight)} over 2} cr} )

Vậy (1) đúng với (n = k + 1)

Vậy (1) đúng với mọi (n in mathbb N^*).

Cách khác :

Ta có:

(eqalign{& left{ {matrix{{{S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_{n – 1}} + {u_n}} cr {{S_n} = {u_n} + {u_{n – 1}} + … + {u_2} + {u_1}} cr} } ight. cr & Rightarrow 2{S_n} = left( {{u_1} + {u_n}} ight) + left( {{u_2} + {u_{n – 1}}} ight) + … + left( {{u_{n – 1}} + {u_2}} ight) + left( {{u_n} + {u_1}} ight) cr} )

Mà  ({u_2} + {u_{n – 1}} = {u_3} + {u_{n – 2}} = … = {u_n} + {u_1})

Do đó  (2{S_n} = nleft( {{u_1} + {u_n}} ight) Rightarrow {S_n} = {n over 2}left( {{u_1} + {u_n}} ight))