Câu 20 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng BC và AD sao cho (overrightarrow {MB}  = koverrightarrow {MC} ) và (overrightarrow {NA}  = koverrightarrow {ND} ) với k là số thực khác 0 cho trước. Đặt α là góc giữa hai vectơ (overrightarrow {MN} ) và (overrightarrow {BA} ) ; β là góc giữa hai vectơ (overrightarrow {MN} ) và (overrightarrow {C{ m{D}}} ). Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để (alpha  = eta  = {45^0}).

Trả lời

 

Kẻ MP // AB thì dễ thấy NP // CD. Từ đó, góc giữa (overrightarrow {MN} ) và (overrightarrow {BA} ) bằng góc giữa ­(overrightarrow {MN} ) và (overrightarrow {MP} ), đó là góc (widehat {PMN}). Góc giữa (overrightarrow {MN} ) và (overrightarrow {C{ m{D}}} ) bằng góc giữa (overrightarrow {MN} ) và (overrightarrow {PN} ), đó là góc (widehat {PNM}).

Vậy hai góc trên bằng nhau và bằng 45° khi và chỉ khi:

MP = NP và (widehat {MPN} = {90^0})

Từ đó, suy ra ({{CP} over {CA}}.AB = {{AP} over {AC}}.C{ m{D}})  và (AB ot C{ m{D}})

hay ({{AB} over {C{ m{D}}}} = {{AP} over {CP}})  và (AB ot C{ m{D}})

Mặt khác, ta có (overrightarrow {PA}  = koverrightarrow {PC}  Rightarrow {{AP} over {PC}} = left| k ight|) .

Vậy giữa AB và CD có mối liên hệ

({{AB} over {C{ m{D}}}} = left| k ight|)  và (AB ot C{ m{D}})

thì góc giữa hai vectơ (overrightarrow {MN} ) và (overrightarrow {BA} ) bằng góc giữa hai vectơ (overrightarrow {MN} ) và (overrightarrow {C{ m{D}}} ), cùng bằng 45°).

Sachbaitap.com