Câu 2 trang 91 Toán Hình 11 Nâng cao, Cho hình chóp S.ABCD....

Cho hình chóp S.ABCD.

a. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì (overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SD}  = overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SC} ). Điều ngược lại có đúng không ?

b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi (overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SC}  + overrightarrow {SD}  = 4overrightarrow {SO} )

Giải

a. Ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SD}  = overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SC}   cr  &  Leftrightarrow overrightarrow {SB}  – overrightarrow {SC}  = overrightarrow {SA}  – overrightarrow {SD}  Leftrightarrow overrightarrow {CB}  = overrightarrow {DA}  cr} )

⇔ ABCD là hình bình hành.

b. Ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SC}  + overrightarrow {SD}  = 4overrightarrow {SO}   cr  &  Leftrightarrow overrightarrow {SO}  + overrightarrow {OA}  + overrightarrow {SO}  + overrightarrow {OB}  + overrightarrow {SO}  + overrightarrow {OC}  + overrightarrow {SO}  + overrightarrow {OD}  = 4overrightarrow {SO}   cr  &  Leftrightarrow overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OB}  + overrightarrow {OC}  + overrightarrow {OD}  = overrightarrow 0 ,,left( * ight) cr} )

Nếu ABCD là hình bình hành thì (overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OB}  + overrightarrow {OC}  + overrightarrow {OD}  = overrightarrow 0 ) suy ra

 (overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SC}  + overrightarrow {SD}  = 4overrightarrow {SO} ) (do (*))

Ngược lại, giả sử (overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SC}  + overrightarrow {SD}  = 4overrightarrow {SO} ,) ta có (*).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD thì :

(overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OC}  = 2overrightarrow {OM} ,overrightarrow {OB}  + overrightarrow {OD}  = 2overrightarrow {ON} )

Từ (*) suy ra (2left( {overrightarrow {OM}  + overrightarrow {ON} } ight) = overrightarrow 0 ,) điều này chứng tỏ O, M, N thẳng hàng

Mặt khác, M thuộc AC, N thuộc BD và O là giao điểm của AC và BD nên O, M, N thẳng hàng chỉ xảy ra khi O ≡ M ≡ N, tức O là trung điểm AC và BD, hay ABCD là hình bình hành.